Quel est le lien entre un robinet qui
00:02
goûte l'ensemble de mandelbrotte, une
00:03
population de lapin, la convection
00:06
thermique dans un fluide et l'activation
00:08
des neurones dans votre cerveau ? C'est
00:10
cette simple équation.
00:13
Disons que vous voulez modéliser une
00:20
population de lapin avec X lapin cette
00:21
année, combien en aurez-vous l'an
00:25
prochain ? Et bien le modèle le plus
00:26
simple que je puisse imaginer consiste
00:29
simplement à multiplier par un certain
00:31
nombre le taux de croissance R qui
00:33
pourrait être disons 2 et cela
00:35
signifierait que la population
00:37
doublerait chaque année. Le problème
00:38
c'est que le nombre de lapins
00:40
augmenterait sans cesse de façon
00:41
exponentielle.
00:43
Donc je peux ajouter le terme 1 - x pour
00:45
représenter les contraintes de
00:48
l'environnement. Et ici, j'imagine que
00:49
la population X est un pourcentage du
00:52
maximum théorique. Donc elle va de 0 à
00:55
1. Et à mesure qu'elle s'approche de ce
00:57
maximum, ce terme tend vers zéro et cela
01:00
limite la population.
01:03
Donc voici la méthode logistique.
01:05
Xn + 1 est la population de l'année
01:08
prochaine et Xnulation de cette année.
01:11
Et si vous tracez la population de
01:14
l'année prochaine en fonction de celle
01:15
de cette année, vous voyez que c'est
01:17
juste une parabole inversée. C'est
01:18
l'équation la plus simple que vous
01:20
puissiez faire qui a une boucle de
01:22
rétroaction négative. Plus la population
01:23
devient grande ici, plus elle sera
01:26
petite l'année suivante. Alors, essayons
01:28
un exemple.
01:30
Disons que nous avons affaire à un
01:33
groupe de lapins particulièrement
01:35
tactif. Donc R est ég à 2,6.
01:36
Choisissons une population initiale à 40
01:41
% du maximum, soit 0,4
01:43
multipli par 1 - 0,4 on obtient 0,624.
01:47
Donc la population augmenté la première.
01:52
>> Mais ce qui nous intéresse vraiment,
01:57
c'est le comportement à long terme de
01:59
cette population. Donc on peut remettre
02:01
cette population dans l'équation. Et
02:03
pour aller plus vite, on peut en fait
02:05
taper 2,6 fois réponse x 1 mo réponse.
02:07
On obtient 0,61. Donc la population a un
02:12
peu diminué. Appuyez encore une fois
02:14
0,619 0,613
02:16
0,617
02:19
0,615
02:21
0,616
02:23
0,615.
02:24
En continuant d'appuyer sur entrée, la
02:26
population ne change presque pas. Elle
02:28
s'est stabilisée comme dans la nature où
02:30
les populations restent constantes qu'en
02:32
essence et décès s'équilibre.
02:35
Je veux maintenant faire un graphique de
02:38
cette itération. Vous voyez ici qu'elle
02:39
atteint une valeur d'équilibre de 0,615.
02:41
Que se passerait-il si je changeais la
02:46
population initiale ? Je vais simplement
02:48
déplacer ce curseur ici. Et ce que vous
02:50
voyez c'est que les premières années
02:52
changent
02:54
mais la population d'équilibre reste la
02:56
même.
02:58
Donc on peut essentiellement ignorer la
03:00
population initiale.
03:02
Donc ce qui m'intéresse vraiment c'est
03:04
comment cette population d'équilibre
03:06
varie en fonction de R le taux de
03:08
croissance.
03:10
Et bien comme vous pouvez le voir, si je
03:12
diminue le taux de croissance, la
03:14
population d'équilibre diminue. Ça a du
03:16
sens. Et en fait si R descend en dessous
03:19
de 1, et bien alors la population chute
03:22
et finit par disparaître.
03:24
Donc ce que je veux faire, c'est tracer
03:27
un autre graphique où sur l'axe des
03:29
abscisses, j'ai R, le taux de
03:31
croissance. Sur l'axe désordonné, je
03:33
trace la population d'équilibre, celle
03:36
obtenue après de très nombreuses
03:38
générations.
03:40
Pour de faible air, les populations
03:42
s'éteignent toujours. L'équilibre est
03:44
donc zéro.
03:46
Lorsque R atteint 1, la population se
03:48
stabilise et plus R est élevé, plus la
03:51
population d'équilibre est élevée.
03:53
Jusqu'ici, tout va bien. Mais
03:57
maintenant, voici la partie étrange.
04:00
Une fois que R dépasse 3, le graphique
04:02
se divise en 2.
04:05
Pourquoi ?
04:07
>> Que se passe-t-il ? Et bien peu importe
04:08
combien de fois vous itérez l'équation,
04:11
elle ne se stabilise jamais sur une
04:13
seule valeur constante. Au lieu de cela,
04:14
elle oscile d'avant en arrière entre
04:17
deux valeurs.
04:19
>> Une année, la population était plus
04:20
élevée, l'année suivante, elle est plus
04:22
basse puis le cycle se répète.
04:23
La nature cyclique des populations est
04:25
également observée dans la nature. Le
04:27
nombre de lapins varie d'une année à
04:29
l'autre, parfois plus, parfois moins. À
04:31
mesure que R continue d'augmenter, la
04:34
fourchette s'écarte puis chacune se
04:36
divise à nouveau.
04:38
Maintenant, au lieu d'osciller entre
04:41
deux valeurs, les populations traversent
04:42
un cycle de 4 ans avant de se répéter.
04:45
Puisque la durée du cycle ou période a
04:48
doublé, on appelle cela des bifurcations
04:50
par doublement de période. En augmentant
04:52
R, on observe plus de bifurcation par
04:55
doublement de période. Elles arrivent de
04:57
plus en plus rapidement menant à des
04:59
cycles de 8 16 32 64. Puis tel que
05:01
lorsque R atteint 3,57 au chaos. La
05:05
population ne se stabilise jamais. Elle
05:09
fluctue comme si c'était au hasard.
05:11
Cette équation a été l'une des premières
05:14
de méthodes pour générer des nombres
05:15
aléatoires sur ordinateur. Cela
05:17
permettait d'obtenir de l'imprévisible
05:19
d'une machine déterministe.
05:21
Aucun motif ni répétition ici. Si vous
05:24
connaissiez les conditions initiales
05:27
exactes, vous pourriez calculer
05:29
précisément les valeurs. Donc on les
05:30
traite comme des nombres pseudo
05:32
aléatoires. On pourrait croire
05:33
l'équation restera chaotique, mais
05:36
l'ordre revient avec l'augmentation de
05:38
R.
05:40
Il y a ces fenêtres de comportement
05:41
périodique stable au milieu du chaos.
05:43
Par exemple, si R vaut 3,423, on observe
05:46
un cycle stable de 3 ans et à mesure que
05:49
R continue d'augmenter, il se divise en
05:52
6 12 24 et ainsi de suite avant de
05:55
revenir au chaos. En fait, cette
05:58
équation comporte des périodes de toute
06:00
longueur 37, 51, 1052, tout ce que vous
06:02
voulez si vous avez simplement la bonne
06:07
valeur de R.
06:09
Ce diagramme de bifurcation ressemble à
06:13
un fractal.
06:16
Les caractéristiques et la grande
06:18
échelle se répètent à des échelles plus
06:19
petites.
06:21
Et en effet, si vous zoomez, vous voyez
06:23
qu'il s'agit en fait d'un fractal.
06:25
Le fractal le plus connu est l'ensemble
06:28
de Mandelbrot.
06:30
Le rebondisement, c'est que le diagramme
06:32
de bifurcation fait partie de l'ensemble
06:34
de Mandelbrot.
06:36
Est-ce que ça fonctionne bien ? Petit
06:39
rappel sur l'ensemble de Mandelbrot, il
06:41
est basé sur cette équation itérée. Donc
06:44
la façon dont cela fonctionne, c'est que
06:47
vous choisissez un nombre C, n'importe
06:48
quel nombre dans le plan complexe, puis
06:50
vous commencez avec Z = 0 et ensuite
06:52
vous itérez cette équation encore et
06:55
encore. Si ça diverge vers l'infini,
06:56
alors le nombre C ne fait pas partie de
06:59
l'ensemble mais si ce nombre reste fini
07:00
après un nombre illimité d'itération,
07:03
alors il fait partie de l'ensemble de
07:06
Mandelbro.
07:08
Essayons par exemple C = 1. Donc on a 0
07:10
au carré + 1 ce qui donne 1. Ensuite 1
07:13
au carré + 1 = 2 au carré + 1 = 5 au
07:16
carré + 1 = 26. Donc on voit assez
07:21
rapidement qu'avec c = 1, cette équation
07:25
va diverger. Donc le nombre 1 ne fait
07:28
pas partie de l'ensemble de Mandelbrot.
07:30
Et si on essaye c = -1, et bien on a 0²
07:33
- 1 = -1 - 1² - 1 = 0. Et donc on
07:38
revient à 0² - 1 = -1. On voit donc que
07:45
cette fonction va continuer à osciller
07:50
entre -1 et 0. Donc elle restera finie.
07:53
Et donc c = -1 fait partie de l'ensemble
07:56
de mandel brot. Normalement, quand on
08:00
voit des images de l'ensemble de
08:01
Mandelbrot, elle montre juste la
08:03
frontière entre les nombres qui font que
08:05
cette équation itérée reste finie et
08:07
ceux qui la font divergé, mais elle ne
08:09
montre pas vraiment comment ces nombres
08:11
restent finis. Ce qu'on a fait ici,
08:12
c'est queon a réellement itéré cette
08:15
équation des milliers de fois puis on a
08:16
tracé sur l'axe Z la valeur que prend
08:19
effectivement l'itération. Donc si on
08:21
regarde de côté, ce que vous verrez en
08:23
fait, c'est le diagramme de bifurcation
08:25
qui fait partie de cet ensemble de
08:26
Mandelbrot. Alors, que se passe-t-il
08:28
vraiment ici ? Bien ce que cela nous
08:29
montre, c'est que tous les nombres dans
08:31
la cardioïde principale finissent par se
08:33
stabiliser sur une seule valeur
08:34
constante. Mais les nombres dans cette
08:36
bulbe principale, eux finissent bon par
08:37
osiller entre deux valeurs. Et dans
08:40
cette bulbe, ils ossillent entre quatre
08:41
valeurs. Ils ont une période de 4 puis 8
08:43
puis 16 32 et ainsi de suite. Puis on
08:46
atteint la partie chaotique. La partie
08:49
chaotique du diagramme de bifurcation se
08:51
trouve ici sur ce qu'on appelle
08:52
l'aiguille de l'ensemble de Mandelbro,
08:54
là où l'ensemble de Mandelbrot devient
08:56
très fin. Et vous pouvez voir cette
08:58
médaille ici qui ressemble à une version
08:59
plus petite de l'ensemble de Mandelbro
09:01
entier. Et bien ce que cela nous montre
09:03
c'est que tous les nombres dans la
09:05
cardioïde principale finissent par se
09:06
stabiliser sur une seule valeur
09:08
constante. Mais les nombres dans cette
09:09
bulbe principale eux finissent par
09:11
osiller entre deux valeurs et dans cette
09:13
bulbe oscillent entre quatre valeurs.
09:15
Ils ont une période de 4 puis 8 puis 16
09:17
32 et un ainsi de suite. Puis on atteint
09:21
la partie chaotique. La partie chaotique
09:23
du diagramme de bifurcation se trouve
09:25
ici sur ce qu'on appelle l'aiguille de
09:27
l'ensemble de Mandelbrot. là où
09:29
l'ensemble de Mandelbrot devient très
09:31
fin et vous pouvez voir cette médaille
09:32
ici qui ressemble à une version plus
09:34
petite de l'ensemble de Mandelbrot
09:36
entiers. Et bien cela correspond à la
09:37
fenêtre de stabilité dans le diagramme
09:39
de bifurcation avec une période de 3.
09:41
Maintenant le diagramme de bifurcation
09:44
n'existe que sur la droite réelle parce
09:45
que on a mis que des nombres réels dans
09:48
notre équation. Mais toutes ces bulbes
09:50
en dehors de la cardioïde principale et
09:52
bien elles ont aussi des cycles
09:55
périodiques de par exemple 3 4 ou 5. Et
09:57
donc on voit ces images fantomatiques
10:01
répétées si on regarde sur l'axe Z. En
10:04
fait, elles oscillent aussi entre ces
10:07
valeurs.
10:09
Personnellement, je trouve cela
10:15
extraordinairement beau, mais si vous
10:17
êtes plus pragmatique, vous vous
10:19
demandez peut-être est-ce que cette
10:20
équation modélise réellement des
10:23
populations d'animaux ? Et la réponse
10:24
est oui. En particulier dans les
10:26
environnements contrôlés que les
10:28
scientifiques ont mis en place dans les
10:30
laboratoires. Ce que je trouve encore
10:31
plus incroyable, c'est la façon dont
10:33
cette simple équation s'applique à un
10:35
vaste éventail de domaines scientifiques
10:37
totalement indépendants les uns des
10:39
autres.
10:41
[Musique]
10:42
La première grande confirmation
10:44
expérimentale est dévenue d'un
10:46
spécialiste de la dynamique des fluides
10:47
nommé Lipcha. Il a fabriqué une boîte
10:49
rectangulaire contenant du mercure et
10:52
utilisait un faible gradient de
10:54
température pour provoquer la
10:56
convection. Juste de cylindres de fluide
10:58
tournant en sens inverse à l'intérieur
11:01
de sa boîte. C'est tout ce que la boîte
11:03
pouvait contenir et bien sûr il ne
11:05
pouvait pas regarder à l'intérieur pour
11:07
voir ce que faisait le fluide. Alors, il
11:08
mesurait la température à l'aide d'une
11:10
sonde placée en haut. Il a observé un
11:12
pic régulier et périodique de
11:14
température. C'est comme lorsque
11:16
l'équation logistique converge vers une
11:18
seule valeur.
11:20
Mais en augmentant le gradient de
11:22
température, une oscillation à la moitié
11:23
de la fréquence initiale est apparue sur
11:25
ces cylindres roulants. Les pics de
11:28
température étaient moins élevés.
11:30
Ils alternaient entre deux hauteurs
11:33
différentes.
11:35
Il avait atteint la période 2 et en
11:36
continuant d'augmenter la température,
11:38
il a observé un doublement de période à
11:41
nouveau. Maintenant, il avait quatre
11:44
températures différentes avant que le
11:46
cycle ne se répète. Puis 8. C'était une
11:48
confirmation assez spectaculaire de la
11:51
théorie dans une expérience
11:53
magnifiquement conçue.
11:55
Mais ce n'était que le début.
11:57
Les scientifiques ont étudié la réaction
12:00
de nos yeux et des yeux de la salamandre
12:01
à des lumières clignotantes et ils ont
12:04
découvert un phénomène de doublement de
12:06
période. Une fois que la lumière atteint
12:07
un certain rythme de clignotement, nos
12:10
yeux ne réagissent plus agissent plus
12:11
qu'à un clignotement sur deux. C'est
12:14
incroyable dans ces articles de voir
12:16
apparaître le diagramme de bifurcation,
12:18
même s'il est un peu flou car il
12:20
provient de données du monde réel.
12:22
Des scientifiques ont donné un
12:25
médicament à des lapins provoquant une
12:27
fibrillation cardiaque. J'imagine qu'il
12:29
pensait en qu'il y avait trop de lapin
12:31
dehors. Enfin, si tu ne sais pas ce
12:32
qu'est la fibrillation, c'est quand ton
12:35
cœur bat de façon extrêmement
12:37
irrégulière et ne pompe quasiment plus
12:38
de sang. Et si tu n'interviens pas, tu
12:40
meurs. Ils ont découvert qu'en allant
12:42
vers la fibrillation, ils ont trouvé la
12:45
route du doublement de période menant au
12:47
chaos.
12:49
Le lapin a d'abord eu un battement
12:50
périodique puis un cycle de deux
12:52
battements rapprochés. Ensuite un cycle
12:54
de quatre battement différent avant de
12:57
recommencer et enfin un comportement
12:59
apériodique.
13:02
L'aspect remarquable de cette étude est
13:04
la surveillance en temps réel du cœur et
13:06
l'utilisation de la théorie du chaos
13:09
pour déterminer quand administrer des
13:11
chocs électriques afin de rétablir la
13:13
périodicité ce qu'ils ont réussi. Donc,
13:15
ils ont utilisé le chaos pour contrôler
13:19
un cœur et trouver une manière plus
13:21
intelligente d'administrer des chocs
13:23
électriques afin de le faire battre
13:24
normalement à nouveau. C'est vraiment
13:26
incroyable. Et puis il y a la question
13:28
du robinet qui goûte. La plupart d'entre
13:30
nous considèrent bien sûr les robinets
13:32
qui goûtent comme des objets très
13:34
réguliers et périodiques. Mais beaucoup
13:36
de recherches ont montré qu'une fois que
13:39
le débit augmente un peu, on obtient un
13:41
doublement de période. Donc maintenant,
13:43
les gouttes tombent deux par deux.
13:45
D'un simple robinet qui goûte, on peut
13:49
générer un comportement chaotique en
13:51
modifiant le débit, ce qui amène à se
13:53
demander ce qu'est vraiment un robinet.
13:55
Et bien, il y a de l'eau sous pression
13:58
constante et une ouverture de taille
13:59
constante. Et pourtant, ce que vous
14:01
obtenez, c'est un goutte à goutte
14:03
chaotique.
14:05
Donc c'est un système chaotique vraiment
14:06
simple. Vous pouvez expérimenter cela
14:08
chez vous. Allez ouvrir un robinet juste
14:10
un petit peu et voyez si vous pouvez
14:12
obtenir un goutte à goutte périodique
14:14
chez vous.
14:16
Le diagramme de bifurcation apparaît à
14:18
tellement d'endroits différents que cela
14:20
commence à sembler étrange.
14:22
Maintenant, je veux vous dire quelque
14:24
chose qui va rendre ça encore plus
14:25
étrange. Il y avait ce physicien
14:27
Mitchell Figenbum qui étudiait le moment
14:30
où les bifurcations se produisent. Il a
14:32
divisé la largeur de chaque section de
14:35
bifurcation par la suivante et il a
14:37
découvert que ce rapport converge vers
14:39
ce nombre 4,669.
14:42
ce qu'on appelle maintenant la constante
14:45
de Feigenb.
14:47
Les bifurcations surviennent de plus en
14:49
plus rapidement mais dans un rapport qui
14:51
tend vers cette valeur fixe et personne
14:53
ne sait vraiment d'où provient cette
14:56
constante. Elle ne semble se rattacher à
14:58
aucune autre constante physique connue,
15:00
si bien qu'elle constitue en elle-même
15:03
une constante fondamentale de la nature.
15:05
Ce qui est encore plus fou, c'est que il
15:08
n'est même pas nécessaire que l'équation
15:10
prenne la forme particulière que je vous
15:12
ai montré plus tôt. toute équation qui
15:13
présente une seule bosse. Si vous
15:16
l'itérez de la même manière que nous
15:19
l'avons fait, donc vous pourriez
15:20
utiliser xn + un égal sinus de x par
15:22
exemple. Si vous l'itérez encore, encore
15:25
et encore, vous verrez aussi des
15:27
bifurcations. Non seulement cela, mais
15:29
le rapport du moment où ces bifurcations
15:32
se produisent aura le même facteur
15:34
d'échelle. 4,669.
15:36
Toute fonction à une seule bosse itérée
15:40
vous donnera cette constante
15:43
fondamentale. Alors pourquoi ? Et bien
15:45
on parle d'universalité parce qu'il
15:47
semble y avoir quelque chose de
15:49
fondamental et de très universel dans ce
15:51
processus, dans ce type d'équation et
15:53
dans cette valeur constante. En 1976,
15:56
le biologiste Robertm a publié un
16:01
article dans nature à propos de cette
16:03
équation précisément.
16:06
Cela a provoqué une révolution parmi
16:08
ceux qui ont étudié ce sujet. Cet
16:10
article a d'ailleurs été cité des
16:11
milliers de fois et dans cet article, il
16:13
lance un appel pour que l'on enseigne
16:16
cette équation simple aux étudiants car
16:18
elle offre une nouvelle intuition sur la
16:21
façon dont des choses simples, des
16:23
équations simples peuvent engendrer des
16:26
comportements très complexes.
16:28
Et je pense toujours qu'aujourd'hui on
16:32
n'enseigne pas vraiment de cette façon.
16:34
Je veux dire, on enseigne des équations
16:37
simples et des résultats simples parce
16:38
que ce sont les choses faciles à faire
16:40
et ce sont celles qui semblent logiques.
16:41
On ne va pas semer le chaos chez les
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étudiants, mais peut-être queon devrait
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peut-être qu'on devrait en semer au
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moins un peu. Et c'est pour ça que je
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suis tellement enthousiaste à propos du
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chaos et de cette équation parce que
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franchement, comment ai-je pu atteindre
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37 ans sans avoir jamais entendu parler
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de la constante de Fagenbom ?
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Depuis que j'ai lu le livre de James
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Gleek, Koo, j'ai voulu faire des vidéos
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sur ce sujet et maintenant je m'y mets
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enfin et j'espère rendre justice à ce
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sujet parce que je le trouve
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incroyablement fascinant et j'espère que
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vous aussi.
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Paroles et Traduction
[Français]
Quel est le lien entre un robinet qui
goûte l'ensemble de mandelbrotte, une
population de lapin, la convection
thermique dans un fluide et l'activation
des neurones dans votre cerveau ? C'est
cette simple équation.
Disons que vous voulez modéliser une
population de lapin avec X lapin cette
année, combien en aurez-vous l'an
prochain ? Et bien le modèle le plus
simple que je puisse imaginer consiste
simplement à multiplier par un certain
nombre le taux de croissance R qui
pourrait être disons 2 et cela
signifierait que la population
doublerait chaque année. Le problème
c'est que le nombre de lapins
augmenterait sans cesse de façon
exponentielle.
Donc je peux ajouter le terme 1 - x pour
représenter les contraintes de
l'environnement. Et ici, j'imagine que
la population X est un pourcentage du
maximum théorique. Donc elle va de 0 à
1. Et à mesure qu'elle s'approche de ce
maximum, ce terme tend vers zéro et cela
limite la population.
Donc voici la méthode logistique.
Xn + 1 est la population de l'année
prochaine et Xnulation de cette année.
Et si vous tracez la population de
l'année prochaine en fonction de celle
de cette année, vous voyez que c'est
juste une parabole inversée. C'est
l'équation la plus simple que vous
puissiez faire qui a une boucle de
rétroaction négative. Plus la population
devient grande ici, plus elle sera
petite l'année suivante. Alors, essayons
un exemple.
Disons que nous avons affaire à un
groupe de lapins particulièrement
tactif. Donc R est ég à 2,6.
Choisissons une population initiale à 40
% du maximum, soit 0,4
multipli par 1 - 0,4 on obtient 0,624.
Donc la population augmenté la première.
>> Mais ce qui nous intéresse vraiment,
c'est le comportement à long terme de
cette population. Donc on peut remettre
cette population dans l'équation. Et
pour aller plus vite, on peut en fait
taper 2,6 fois réponse x 1 mo réponse.
On obtient 0,61. Donc la population a un
peu diminué. Appuyez encore une fois
0,619 0,613
0,617
0,615
0,616
0,615.
En continuant d'appuyer sur entrée, la
population ne change presque pas. Elle
s'est stabilisée comme dans la nature où
les populations restent constantes qu'en
essence et décès s'équilibre.
Je veux maintenant faire un graphique de
cette itération. Vous voyez ici qu'elle
atteint une valeur d'équilibre de 0,615.
Que se passerait-il si je changeais la
population initiale ? Je vais simplement
déplacer ce curseur ici. Et ce que vous
voyez c'est que les premières années
changent
mais la population d'équilibre reste la
même.
Donc on peut essentiellement ignorer la
population initiale.
Donc ce qui m'intéresse vraiment c'est
comment cette population d'équilibre
varie en fonction de R le taux de
croissance.
Et bien comme vous pouvez le voir, si je
diminue le taux de croissance, la
population d'équilibre diminue. Ça a du
sens. Et en fait si R descend en dessous
de 1, et bien alors la population chute
et finit par disparaître.
Donc ce que je veux faire, c'est tracer
un autre graphique où sur l'axe des
abscisses, j'ai R, le taux de
croissance. Sur l'axe désordonné, je
trace la population d'équilibre, celle
obtenue après de très nombreuses
générations.
Pour de faible air, les populations
s'éteignent toujours. L'équilibre est
donc zéro.
Lorsque R atteint 1, la population se
stabilise et plus R est élevé, plus la
population d'équilibre est élevée.
Jusqu'ici, tout va bien. Mais
maintenant, voici la partie étrange.
Une fois que R dépasse 3, le graphique
se divise en 2.
Pourquoi ?
>> Que se passe-t-il ? Et bien peu importe
combien de fois vous itérez l'équation,
elle ne se stabilise jamais sur une
seule valeur constante. Au lieu de cela,
elle oscile d'avant en arrière entre
deux valeurs.
>> Une année, la population était plus
élevée, l'année suivante, elle est plus
basse puis le cycle se répète.
La nature cyclique des populations est
également observée dans la nature. Le
nombre de lapins varie d'une année à
l'autre, parfois plus, parfois moins. À
mesure que R continue d'augmenter, la
fourchette s'écarte puis chacune se
divise à nouveau.
Maintenant, au lieu d'osciller entre
deux valeurs, les populations traversent
un cycle de 4 ans avant de se répéter.
Puisque la durée du cycle ou période a
doublé, on appelle cela des bifurcations
par doublement de période. En augmentant
R, on observe plus de bifurcation par
doublement de période. Elles arrivent de
plus en plus rapidement menant à des
cycles de 8 16 32 64. Puis tel que
lorsque R atteint 3,57 au chaos. La
population ne se stabilise jamais. Elle
fluctue comme si c'était au hasard.
Cette équation a été l'une des premières
de méthodes pour générer des nombres
aléatoires sur ordinateur. Cela
permettait d'obtenir de l'imprévisible
d'une machine déterministe.
Aucun motif ni répétition ici. Si vous
connaissiez les conditions initiales
exactes, vous pourriez calculer
précisément les valeurs. Donc on les
traite comme des nombres pseudo
aléatoires. On pourrait croire
l'équation restera chaotique, mais
l'ordre revient avec l'augmentation de
R.
Il y a ces fenêtres de comportement
périodique stable au milieu du chaos.
Par exemple, si R vaut 3,423, on observe
un cycle stable de 3 ans et à mesure que
R continue d'augmenter, il se divise en
6 12 24 et ainsi de suite avant de
revenir au chaos. En fait, cette
équation comporte des périodes de toute
longueur 37, 51, 1052, tout ce que vous
voulez si vous avez simplement la bonne
valeur de R.
Ce diagramme de bifurcation ressemble à
un fractal.
Les caractéristiques et la grande
échelle se répètent à des échelles plus
petites.
Et en effet, si vous zoomez, vous voyez
qu'il s'agit en fait d'un fractal.
Le fractal le plus connu est l'ensemble
de Mandelbrot.
Le rebondisement, c'est que le diagramme
de bifurcation fait partie de l'ensemble
de Mandelbrot.
Est-ce que ça fonctionne bien ? Petit
rappel sur l'ensemble de Mandelbrot, il
est basé sur cette équation itérée. Donc
la façon dont cela fonctionne, c'est que
vous choisissez un nombre C, n'importe
quel nombre dans le plan complexe, puis
vous commencez avec Z = 0 et ensuite
vous itérez cette équation encore et
encore. Si ça diverge vers l'infini,
alors le nombre C ne fait pas partie de
l'ensemble mais si ce nombre reste fini
après un nombre illimité d'itération,
alors il fait partie de l'ensemble de
Mandelbro.
Essayons par exemple C = 1. Donc on a 0
au carré + 1 ce qui donne 1. Ensuite 1
au carré + 1 = 2 au carré + 1 = 5 au
carré + 1 = 26. Donc on voit assez
rapidement qu'avec c = 1, cette équation
va diverger. Donc le nombre 1 ne fait
pas partie de l'ensemble de Mandelbrot.
Et si on essaye c = -1, et bien on a 0²
- 1 = -1 - 1² - 1 = 0. Et donc on
revient à 0² - 1 = -1. On voit donc que
cette fonction va continuer à osciller
entre -1 et 0. Donc elle restera finie.
Et donc c = -1 fait partie de l'ensemble
de mandel brot. Normalement, quand on
voit des images de l'ensemble de
Mandelbrot, elle montre juste la
frontière entre les nombres qui font que
cette équation itérée reste finie et
ceux qui la font divergé, mais elle ne
montre pas vraiment comment ces nombres
restent finis. Ce qu'on a fait ici,
c'est queon a réellement itéré cette
équation des milliers de fois puis on a
tracé sur l'axe Z la valeur que prend
effectivement l'itération. Donc si on
regarde de côté, ce que vous verrez en
fait, c'est le diagramme de bifurcation
qui fait partie de cet ensemble de
Mandelbrot. Alors, que se passe-t-il
vraiment ici ? Bien ce que cela nous
montre, c'est que tous les nombres dans
la cardioïde principale finissent par se
stabiliser sur une seule valeur
constante. Mais les nombres dans cette
bulbe principale, eux finissent bon par
osiller entre deux valeurs. Et dans
cette bulbe, ils ossillent entre quatre
valeurs. Ils ont une période de 4 puis 8
puis 16 32 et ainsi de suite. Puis on
atteint la partie chaotique. La partie
chaotique du diagramme de bifurcation se
trouve ici sur ce qu'on appelle
l'aiguille de l'ensemble de Mandelbro,
là où l'ensemble de Mandelbrot devient
très fin. Et vous pouvez voir cette
médaille ici qui ressemble à une version
plus petite de l'ensemble de Mandelbro
entier. Et bien ce que cela nous montre
c'est que tous les nombres dans la
cardioïde principale finissent par se
stabiliser sur une seule valeur
constante. Mais les nombres dans cette
bulbe principale eux finissent par
osiller entre deux valeurs et dans cette
bulbe oscillent entre quatre valeurs.
Ils ont une période de 4 puis 8 puis 16
32 et un ainsi de suite. Puis on atteint
la partie chaotique. La partie chaotique
du diagramme de bifurcation se trouve
ici sur ce qu'on appelle l'aiguille de
l'ensemble de Mandelbrot. là où
l'ensemble de Mandelbrot devient très
fin et vous pouvez voir cette médaille
ici qui ressemble à une version plus
petite de l'ensemble de Mandelbrot
entiers. Et bien cela correspond à la
fenêtre de stabilité dans le diagramme
de bifurcation avec une période de 3.
Maintenant le diagramme de bifurcation
n'existe que sur la droite réelle parce
que on a mis que des nombres réels dans
notre équation. Mais toutes ces bulbes
en dehors de la cardioïde principale et
bien elles ont aussi des cycles
périodiques de par exemple 3 4 ou 5. Et
donc on voit ces images fantomatiques
répétées si on regarde sur l'axe Z. En
fait, elles oscillent aussi entre ces
valeurs.
Personnellement, je trouve cela
extraordinairement beau, mais si vous
êtes plus pragmatique, vous vous
demandez peut-être est-ce que cette
équation modélise réellement des
populations d'animaux ? Et la réponse
est oui. En particulier dans les
environnements contrôlés que les
scientifiques ont mis en place dans les
laboratoires. Ce que je trouve encore
plus incroyable, c'est la façon dont
cette simple équation s'applique à un
vaste éventail de domaines scientifiques
totalement indépendants les uns des
autres.
[Musique]
La première grande confirmation
expérimentale est dévenue d'un
spécialiste de la dynamique des fluides
nommé Lipcha. Il a fabriqué une boîte
rectangulaire contenant du mercure et
utilisait un faible gradient de
température pour provoquer la
convection. Juste de cylindres de fluide
tournant en sens inverse à l'intérieur
de sa boîte. C'est tout ce que la boîte
pouvait contenir et bien sûr il ne
pouvait pas regarder à l'intérieur pour
voir ce que faisait le fluide. Alors, il
mesurait la température à l'aide d'une
sonde placée en haut. Il a observé un
pic régulier et périodique de
température. C'est comme lorsque
l'équation logistique converge vers une
seule valeur.
Mais en augmentant le gradient de
température, une oscillation à la moitié
de la fréquence initiale est apparue sur
ces cylindres roulants. Les pics de
température étaient moins élevés.
Ils alternaient entre deux hauteurs
différentes.
Il avait atteint la période 2 et en
continuant d'augmenter la température,
il a observé un doublement de période à
nouveau. Maintenant, il avait quatre
températures différentes avant que le
cycle ne se répète. Puis 8. C'était une
confirmation assez spectaculaire de la
théorie dans une expérience
magnifiquement conçue.
Mais ce n'était que le début.
Les scientifiques ont étudié la réaction
de nos yeux et des yeux de la salamandre
à des lumières clignotantes et ils ont
découvert un phénomène de doublement de
période. Une fois que la lumière atteint
un certain rythme de clignotement, nos
yeux ne réagissent plus agissent plus
qu'à un clignotement sur deux. C'est
incroyable dans ces articles de voir
apparaître le diagramme de bifurcation,
même s'il est un peu flou car il
provient de données du monde réel.
Des scientifiques ont donné un
médicament à des lapins provoquant une
fibrillation cardiaque. J'imagine qu'il
pensait en qu'il y avait trop de lapin
dehors. Enfin, si tu ne sais pas ce
qu'est la fibrillation, c'est quand ton
cœur bat de façon extrêmement
irrégulière et ne pompe quasiment plus
de sang. Et si tu n'interviens pas, tu
meurs. Ils ont découvert qu'en allant
vers la fibrillation, ils ont trouvé la
route du doublement de période menant au
chaos.
Le lapin a d'abord eu un battement
périodique puis un cycle de deux
battements rapprochés. Ensuite un cycle
de quatre battement différent avant de
recommencer et enfin un comportement
apériodique.
L'aspect remarquable de cette étude est
la surveillance en temps réel du cœur et
l'utilisation de la théorie du chaos
pour déterminer quand administrer des
chocs électriques afin de rétablir la
périodicité ce qu'ils ont réussi. Donc,
ils ont utilisé le chaos pour contrôler
un cœur et trouver une manière plus
intelligente d'administrer des chocs
électriques afin de le faire battre
normalement à nouveau. C'est vraiment
incroyable. Et puis il y a la question
du robinet qui goûte. La plupart d'entre
nous considèrent bien sûr les robinets
qui goûtent comme des objets très
réguliers et périodiques. Mais beaucoup
de recherches ont montré qu'une fois que
le débit augmente un peu, on obtient un
doublement de période. Donc maintenant,
les gouttes tombent deux par deux.
D'un simple robinet qui goûte, on peut
générer un comportement chaotique en
modifiant le débit, ce qui amène à se
demander ce qu'est vraiment un robinet.
Et bien, il y a de l'eau sous pression
constante et une ouverture de taille
constante. Et pourtant, ce que vous
obtenez, c'est un goutte à goutte
chaotique.
Donc c'est un système chaotique vraiment
simple. Vous pouvez expérimenter cela
chez vous. Allez ouvrir un robinet juste
un petit peu et voyez si vous pouvez
obtenir un goutte à goutte périodique
chez vous.
Le diagramme de bifurcation apparaît à
tellement d'endroits différents que cela
commence à sembler étrange.
Maintenant, je veux vous dire quelque
chose qui va rendre ça encore plus
étrange. Il y avait ce physicien
Mitchell Figenbum qui étudiait le moment
où les bifurcations se produisent. Il a
divisé la largeur de chaque section de
bifurcation par la suivante et il a
découvert que ce rapport converge vers
ce nombre 4,669.
ce qu'on appelle maintenant la constante
de Feigenb.
Les bifurcations surviennent de plus en
plus rapidement mais dans un rapport qui
tend vers cette valeur fixe et personne
ne sait vraiment d'où provient cette
constante. Elle ne semble se rattacher à
aucune autre constante physique connue,
si bien qu'elle constitue en elle-même
une constante fondamentale de la nature.
Ce qui est encore plus fou, c'est que il
n'est même pas nécessaire que l'équation
prenne la forme particulière que je vous
ai montré plus tôt. toute équation qui
présente une seule bosse. Si vous
l'itérez de la même manière que nous
l'avons fait, donc vous pourriez
utiliser xn + un égal sinus de x par
exemple. Si vous l'itérez encore, encore
et encore, vous verrez aussi des
bifurcations. Non seulement cela, mais
le rapport du moment où ces bifurcations
se produisent aura le même facteur
d'échelle. 4,669.
Toute fonction à une seule bosse itérée
vous donnera cette constante
fondamentale. Alors pourquoi ? Et bien
on parle d'universalité parce qu'il
semble y avoir quelque chose de
fondamental et de très universel dans ce
processus, dans ce type d'équation et
dans cette valeur constante. En 1976,
le biologiste Robertm a publié un
article dans nature à propos de cette
équation précisément.
Cela a provoqué une révolution parmi
ceux qui ont étudié ce sujet. Cet
article a d'ailleurs été cité des
milliers de fois et dans cet article, il
lance un appel pour que l'on enseigne
cette équation simple aux étudiants car
elle offre une nouvelle intuition sur la
façon dont des choses simples, des
équations simples peuvent engendrer des
comportements très complexes.
Et je pense toujours qu'aujourd'hui on
n'enseigne pas vraiment de cette façon.
Je veux dire, on enseigne des équations
simples et des résultats simples parce
que ce sont les choses faciles à faire
et ce sont celles qui semblent logiques.
On ne va pas semer le chaos chez les
étudiants, mais peut-être queon devrait
peut-être qu'on devrait en semer au
moins un peu. Et c'est pour ça que je
suis tellement enthousiaste à propos du
chaos et de cette équation parce que
franchement, comment ai-je pu atteindre
37 ans sans avoir jamais entendu parler
de la constante de Fagenbom ?
Depuis que j'ai lu le livre de James
Gleek, Koo, j'ai voulu faire des vidéos
sur ce sujet et maintenant je m'y mets
enfin et j'espère rendre justice à ce
sujet parce que je le trouve
incroyablement fascinant et j'espère que
vous aussi.
Vocabulaire clé
Commencer la pratique
| Vocabulaire | Significations |
|---|---|
|
simple /ˈsɪmpl/ A2 |
|
|
année /ane/ A2 |
|
|
population /ˌpɒpjʊˈleɪʃən/ B1 |
|
|
nombre /nɔ̃br/ B1 |
|
|
fois /fwa/ B1 |
|
|
équation /ekwaˈsjɔ̃/ B1 |
|
|
croissance /kʁwasɑ̃s/ B1 |
|
|
maximum /makˈsimɔm/ B2 |
|
|
terme /tɛʁm/ B2 |
|
|
fonction /fɔ̃ksjɔ̃/ B2 |
|
|
valeur /valœʁ/ B2 |
|
|
cycle /ˈsaɪkl/ B2 |
|
|
équilibre /ekilibʁ/ C1 |
|
|
chaos /ˈkeɪɒs/ C1 |
|
|
bifurcation /bɪfəːˈkeɪʃən/ C1 |
|
|
fractal /ˈfræktəl/ C1 |
|
|
diagramme /djagʁam/ C1 |
|
|
constante /kɔ̃.stɑ̃t/ C2 |
|
🚀 "simple", "année" - dans "" – tu piges pas encore ?
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Structures grammaticales clés
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