– Bilingual Lyrics French/English

Lyrics & Translation

[English]

What is the connection between a faucet that

tastes the whole mandelbrotte, a

rabbit population, convection

thermal in a fluid and activation

neurons in your brain? It is

this simple equation.

Let's say you want to model a

rabbit population with X rabbit this

year, how many will you have per year

next? Well the most model

simple as I can imagine consists

simply to multiply by a certain

number the growth rate R which

could be say 2 and that

would mean that the population

would double every year. The problem

is just the number of rabbits

would continually increase

exponential.

So I can add the term 1 - x for

represent the constraints of

the environment. And here I imagine that

population

theoretical maximum. So it goes from 0 to

1. And as she approaches this

maximum, this term tends towards zero and this

limits the population.

So here is the logistics method.

Xn + 1 is the population of the year

next and this year's Xnulation.

And if you plot the population of

next year depending on that

of this year, you see that it is

just an inverted parabola. It is

the simplest equation you

can make which has a loop of

negative feedback. More the population

gets bigger here, the more it will be

small the following year. So let's try

an example.

Let's say we are dealing with a

group of rabbits particularly

tactive. So R is equal to 2.6.

Let's choose an initial population of 40

% of the maximum, i.e. 0.4

multiplied by 1 - 0.4 we obtain 0.624.

So the population increased first.

>> But what really interests us,

this is the long-term behavior of

this population. So we can put

this population in the equation. And

to go faster, we can actually

type 2.6 times answer x 1 MB answer.

We obtain 0.61. So the population has a

slightly diminished. Press again

0.619 0.613

0.617

0.615

0.616

0.615.

Continuing to press enter, the

population hardly changes. She

has stabilized as in nature where

populations remain constant only in

gasoline and death balance out.

I now want to make a graph of

this iteration. You see here that she

reaches an equilibrium value of 0.615.

What would happen if I changed the

initial population? I'll just

move this cursor here. And what you

see it's only the first years

change

but the equilibrium population remains

same.

So we can essentially ignore the

initial population.

So what really interests me is

how does this equilibrium population

varies as a function of R the rate of

growth.

Well as you can see, if I

decreases the growth rate, the

equilibrium population decreases. It must have

meaning. And in fact if R goes below

by 1, well then the population drops

and eventually disappears.

So what I want to do is plot

another graph where on the axis of

abscissa, I have R, the rate of

growth. On the disordered axis, I

plots the equilibrium population, that

obtained after many

generations.

For low air, populations

always turn off. The balance is

therefore zero.

When R reaches 1, the population

stabilizes and the higher R is, the more the

equilibrium population is high.

So far, so good. But

Now here's the weird part.

Once R exceeds 3, the graph

divides into 2.

Why?

>> What's happening? Well it doesn't matter

how many times you iterate the equation,

it never stabilizes on a

single constant value. Instead,

it oscillates back and forth between

two values.

>> One year, the population was more

high, the following year, it is more

bass then the cycle repeats.

The cyclical nature of populations is

also observed in nature. THE

number of rabbits varies from year to year

the other, sometimes more, sometimes less. HAS

As R continues to increase, the

fork moves apart then each

divides again.

Now, instead of oscillating between

two values, the populations cross

a cycle of 4 years before repeating itself.

Since the duration of the cycle or period has

doubled, we call these bifurcations

by doubling of period. By increasing

R, we observe more bifurcation by

period doubling. They arrive from

more and more quickly leading to

cycles of 8 16 32 64. Then such that

when R reaches 3.57 at chaos. There

population never stabilizes. She

fluctuates as if at random.

This equation was one of the first

methods for generating numbers

random on computer. That

made it possible to achieve the unpredictable

of a deterministic machine.

No pattern or repetition here. If you

know the initial conditions

exact, you could calculate

precisely the values. So we

treats as pseudo numbers

random. One could believe

the equation will remain chaotic, but

the order returns with the increase of

A.

There are these behavior windows

stable periodic in the midst of chaos.

For example, if R is 3.423, we observe

a stable cycle of 3 years and as

R continues to increase, it divides into

6 12 24 and so on before

return to chaos. In fact, this

equation has periods of all

length 37, 51, 1052, whatever you

want if you just have the right one

value of R.

This bifurcation diagram looks like

a fractal.

The characteristics and the great

scale repeats at larger scales

small.

And indeed, if you zoom in, you see

that it is in fact a fractal.

The best known fractal is the set

of Mandelbrot.

The twist is that the diagram

of bifurcation is part of the set

of Mandelbrot.

Does it work well? Little

recall on the Mandelbrot set, it

is based on this iterated equation. SO

the way it works is that

you choose a number C, regardless

what number in the complex plane, then

you start with Z = 0 and then

you iterate this equation over and over

again. If it diverges towards infinity,

then the number C is not part of

the whole but if this number remains finite

after an unlimited number of iterations,

then it is part of the set of

Mandelbro.

Let's try for example C = 1. So we have 0

squared + 1 which gives 1. Then 1

squared + 1 = 2 squared + 1 = 5

square + 1 = 26. So we see enough

quickly than with c = 1, this equation

will diverge. So the number 1 does not

not part of the Mandelbrot set.

And if we try c = -1, well we have 0²

- 1 = -1 - 1² - 1 = 0. And so we

returns to 0² - 1 = -1. We therefore see that

this function will continue to oscillate

between -1 and 0. So it will remain finite.

And so c = -1 is part of the set

by Mandel Brot. Normally, when we

sees images of the entire

Mandelbrot, it just shows the

boundary between the numbers which make

this iterated equation remains finite and

those who make it diverge, but it does not

doesn't really show how these numbers

remain finite. What we did here,

is that we actually iterated this

equation thousands of times then we have

plotted on the Z axis the value that takes

effectively the iteration. So if we

look aside, what you will see in

done, this is the bifurcation diagram

which is part of this set of

Mandelbrot. So what's going on

really here? Well what does that give us?

shows is that all the numbers in

the main cardioid ends up

stabilize on a single value

constant. But the numbers in this

main bulb, they end up good

oscillate between two values. And in

this bulb, they oscillate between four

values. They have a period of 4 then 8

then 16 32 and so on. Then we

reaches the chaotic part. The part

chaotic of the bifurcation diagram

found here on what we call

the needle of the Mandelbro set,

where the Mandelbrot set becomes

very fine. And you can see this

medal here which looks like a version

smallest of the Mandelbro set

integer. Well what does this show us?

is that all the numbers in the

main cardioid ends up

stabilize on a single value

constant. But the numbers in this

main bulb they end up

oscillate between two values ​​and in this

bulb oscillate between four values.

They have a period of 4 then 8 then 16

32 and one so on. Then we reach

the chaotic part. The chaotic part

of the bifurcation diagram is found

here on what we call the needle of

the Mandelbrot set. where

the Mandelbrot set becomes very

end and you can see this medal

here which looks like a more

small of the Mandelbrot set

integers. Well this corresponds to the

stability window in the diagram

bifurcation with a period of 3.

Now the bifurcation diagram

only exists on the real line because

that we only put real numbers in

our equation. But all these bulbs

outside the main cardioid and

well they also have cycles

periodic for example 3 4 or 5. And

so we see these ghostly images

repeated if we look on the axis z.

done, they also oscillate between these

values.

personally, I find it

} extraordinarily beautiful, but if you

are more pragmatic, you

may ask this

equation really models

animal populations? And the answer

is yes. Especially in

controlled environments that

scientists have set up in

​​laboratories. What I still find

more incredible, this is the way

This simple equation applies to a

wide range of scientific fields

totally independent

others.

[Music]

The first big confirmation

} experimental is awarded to a

specialist in fluid dynamics

named lipcha. He made a box

rectangular containing mercury and

used a weak gradient of

temperature to cause the

convection. Just fluid cylinder

turning in the opposite direction inside

of his box. That's all that the box

could contain and of course it does not

could not look inside for

See what the fluid did. So he

measured the temperature using a

probe placed at the top. He observed a

regular and periodic peak of

temperature. It's like when

The logistical equation converges towards a

only value.

but by increasing the gradient of

temperature, an oscillation in half

of the initial frequency appeared on

These rolling cylinders. The peaks of

temperature were lower.

they alternated between two heights

different.

he had reached period 2 and in

continuing to increase the temperature,

He observed a doubling of a period at

new. Now he had four

different temperatures before the

cycle is not repeated. Then 8. It was a

fairly spectacular confirmation of the

Theory in an experience

beautifully designed.

but it was only the beginning.

scientists studied the reaction

of our eyes and eyes of the salamander

to flashing lights and they have

discovered a phenomenon of doubling of

period. Once the light has reached

a certain rhythm of flashing, our

Eyes no longer react no longer act

than one on two flashes. It is

incredible in these articles to see

appear the fork diagram,

even if it is a little blurry because it

comes from real world data.

scientists gave a

medicine to rabbits causing a

cardiac fibrillation. I imagine he

thought that there was too much rabbit

outside. Finally, if you don't know this

that is fibrillation, is when your

heart beats extremely

irregular and hardly pumps

blood. And if you don't intervene, you

meurs. They discovered that by going

towards fibrillation, they found the

Route du double period leading to

chaos.

The rabbit first had a beat

periodic then a cycle of two

close beats. Then a cycle

of four different beats before

start again and finally a behavior

aperiodic.

The remarkable aspect of this study is

surveillance in real time of the heart and

The use of chaos theory

to determine when to administer

electric shocks to restore the

periodicity what they have succeeded. SO,

they used chaos to control

a heart and find a more way

} intelligent to administer shocks

} electric to make it beat

normally again. It's really

incredible. And then there is the question

of the tap that tastes. Most of

of course consider the taps

that taste like very

regular and periodical. But a lot

of research showed that once

The flow increases a little, we get a

doubly period. So now,

The drops fall two by two.

of a simple tap that tastes, we can

generate chaotic behavior in

modifying the flow, which leads to

Ask what a tap is really.

well, there is water under pressure

constant and a size opening

constant. And yet, what you

get, it's a drop

chaotic.

so it's a really chaotic system

simple. You can experience this

at home. Go open a right tap

a little and see if you can

get a periodic drop

at home.

The bifurcation diagram appears at

so many different places than that

is starting to seem strange.

Now I want to tell you something

something that will make it even more

strange. There was this physicist

Mitchell Figenbum who studied the moment

where the bifurcations occur. He has

divided the width of each section of

bifurcation by the next one and he

discovered that this relationship converges to

this number 4,669.

what we now call the constant

by Feigenb.

Bifurcations are occurring more and more

faster but in a ratio that

tends towards this fixed value and no one

doesn't really know where this comes from.

constant. It does not seem to be linked to

no other known physical constant,

so that it constitutes in itself

a fundamental constant of nature.

What's even crazier is that he

is not even necessary for the equation

takes the particular form that I

I showed earlier. any equation that

has a single bump. If you

iterate it the same way we do

did it, so you could

use xn + an equal sine of x by

example. If you iterate it again, again

and again, you will also see

bifurcations. Not only that, but

the ratio of when these bifurcations

occur will have the same factor

of scale. 4,669.

Any iterated single-hump function

will give you this constant

fundamental. So why? Well

we speak of universality because it

seems to be something

​​fundamental and very universal in this

process, in this type of equation and

in this constant value. In 1976,

the biologist Robertm published a

article in nature about this

equation precisely.

This caused a revolution among

those who have studied this subject. This

article has also been cited

thousands of times and in this article, it

calls for teaching

this simple equation to students because

it offers a new intuition on the

way in which simple things,

simple equations can generate

very complex behaviors.

And I still think that today we

doesn't really teach that way.

I mean, we teach equations

simple and simple results because

that these are the easy things to do

and these are the ones that seem logical.

We are not going to sow chaos among the

students, but maybe we should

maybe we should sow some at

less a little. And that's why I

am so excited about the

chaos and this equation because

frankly, how did I reach

37 years without ever having heard of

of Fagenbom's constant?

Since reading James' book

Gleek, Koo, I wanted to make videos

on this subject and now I'm getting started

finally and I hope to do justice to this

topic because I found it

incredibly fascinating and I hope

you too.

[French]

Quel est le lien entre un robinet qui

goûte l'ensemble de mandelbrotte, une

population de lapin, la convection

thermique dans un fluide et l'activation

des neurones dans votre cerveau ? C'est

cette simple équation.

Disons que vous voulez modéliser une

population de lapin avec X lapin cette

année, combien en aurez-vous l'an

prochain ? Et bien le modèle le plus

simple que je puisse imaginer consiste

simplement à multiplier par un certain

nombre le taux de croissance R qui

pourrait être disons 2 et cela

signifierait que la population

doublerait chaque année. Le problème

c'est que le nombre de lapins

augmenterait sans cesse de façon

exponentielle.

Donc je peux ajouter le terme 1 - x pour

représenter les contraintes de

l'environnement. Et ici, j'imagine que

la population X est un pourcentage du

maximum théorique. Donc elle va de 0 à

1. Et à mesure qu'elle s'approche de ce

maximum, ce terme tend vers zéro et cela

limite la population.

Donc voici la méthode logistique.

Xn + 1 est la population de l'année

prochaine et Xnulation de cette année.

Et si vous tracez la population de

l'année prochaine en fonction de celle

de cette année, vous voyez que c'est

juste une parabole inversée. C'est

l'équation la plus simple que vous

puissiez faire qui a une boucle de

rétroaction négative. Plus la population

devient grande ici, plus elle sera

petite l'année suivante. Alors, essayons

un exemple.

Disons que nous avons affaire à un

groupe de lapins particulièrement

tactif. Donc R est ég à 2,6.

Choisissons une population initiale à 40

% du maximum, soit 0,4

multipli par 1 - 0,4 on obtient 0,624.

Donc la population augmenté la première.

>> Mais ce qui nous intéresse vraiment,

c'est le comportement à long terme de

cette population. Donc on peut remettre

cette population dans l'équation. Et

pour aller plus vite, on peut en fait

taper 2,6 fois réponse x 1 mo réponse.

On obtient 0,61. Donc la population a un

peu diminué. Appuyez encore une fois

0,619 0,613

0,617

0,615

0,616

0,615.

En continuant d'appuyer sur entrée, la

population ne change presque pas. Elle

s'est stabilisée comme dans la nature où

les populations restent constantes qu'en

essence et décès s'équilibre.

Je veux maintenant faire un graphique de

cette itération. Vous voyez ici qu'elle

atteint une valeur d'équilibre de 0,615.

Que se passerait-il si je changeais la

population initiale ? Je vais simplement

déplacer ce curseur ici. Et ce que vous

voyez c'est que les premières années

changent

mais la population d'équilibre reste la

même.

Donc on peut essentiellement ignorer la

population initiale.

Donc ce qui m'intéresse vraiment c'est

comment cette population d'équilibre

varie en fonction de R le taux de

croissance.

Et bien comme vous pouvez le voir, si je

diminue le taux de croissance, la

population d'équilibre diminue. Ça a du

sens. Et en fait si R descend en dessous

de 1, et bien alors la population chute

et finit par disparaître.

Donc ce que je veux faire, c'est tracer

un autre graphique où sur l'axe des

abscisses, j'ai R, le taux de

croissance. Sur l'axe désordonné, je

trace la population d'équilibre, celle

obtenue après de très nombreuses

générations.

Pour de faible air, les populations

s'éteignent toujours. L'équilibre est

donc zéro.

Lorsque R atteint 1, la population se

stabilise et plus R est élevé, plus la

population d'équilibre est élevée.

Jusqu'ici, tout va bien. Mais

maintenant, voici la partie étrange.

Une fois que R dépasse 3, le graphique

se divise en 2.

Pourquoi ?

>> Que se passe-t-il ? Et bien peu importe

combien de fois vous itérez l'équation,

elle ne se stabilise jamais sur une

seule valeur constante. Au lieu de cela,

elle oscile d'avant en arrière entre

deux valeurs.

>> Une année, la population était plus

élevée, l'année suivante, elle est plus

basse puis le cycle se répète.

La nature cyclique des populations est

également observée dans la nature. Le

nombre de lapins varie d'une année à

l'autre, parfois plus, parfois moins. À

mesure que R continue d'augmenter, la

fourchette s'écarte puis chacune se

divise à nouveau.

Maintenant, au lieu d'osciller entre

deux valeurs, les populations traversent

un cycle de 4 ans avant de se répéter.

Puisque la durée du cycle ou période a

doublé, on appelle cela des bifurcations

par doublement de période. En augmentant

R, on observe plus de bifurcation par

doublement de période. Elles arrivent de

plus en plus rapidement menant à des

cycles de 8 16 32 64. Puis tel que

lorsque R atteint 3,57 au chaos. La

population ne se stabilise jamais. Elle

fluctue comme si c'était au hasard.

Cette équation a été l'une des premières

de méthodes pour générer des nombres

aléatoires sur ordinateur. Cela

permettait d'obtenir de l'imprévisible

d'une machine déterministe.

Aucun motif ni répétition ici. Si vous

connaissiez les conditions initiales

exactes, vous pourriez calculer

précisément les valeurs. Donc on les

traite comme des nombres pseudo

aléatoires. On pourrait croire

l'équation restera chaotique, mais

l'ordre revient avec l'augmentation de

R.

Il y a ces fenêtres de comportement

périodique stable au milieu du chaos.

Par exemple, si R vaut 3,423, on observe

un cycle stable de 3 ans et à mesure que

R continue d'augmenter, il se divise en

6 12 24 et ainsi de suite avant de

revenir au chaos. En fait, cette

équation comporte des périodes de toute

longueur 37, 51, 1052, tout ce que vous

voulez si vous avez simplement la bonne

valeur de R.

Ce diagramme de bifurcation ressemble à

un fractal.

Les caractéristiques et la grande

échelle se répètent à des échelles plus

petites.

Et en effet, si vous zoomez, vous voyez

qu'il s'agit en fait d'un fractal.

Le fractal le plus connu est l'ensemble

de Mandelbrot.

Le rebondisement, c'est que le diagramme

de bifurcation fait partie de l'ensemble

de Mandelbrot.

Est-ce que ça fonctionne bien ? Petit

rappel sur l'ensemble de Mandelbrot, il

est basé sur cette équation itérée. Donc

la façon dont cela fonctionne, c'est que

vous choisissez un nombre C, n'importe

quel nombre dans le plan complexe, puis

vous commencez avec Z = 0 et ensuite

vous itérez cette équation encore et

encore. Si ça diverge vers l'infini,

alors le nombre C ne fait pas partie de

l'ensemble mais si ce nombre reste fini

après un nombre illimité d'itération,

alors il fait partie de l'ensemble de

Mandelbro.

Essayons par exemple C = 1. Donc on a 0

au carré + 1 ce qui donne 1. Ensuite 1

au carré + 1 = 2 au carré + 1 = 5 au

carré + 1 = 26. Donc on voit assez

rapidement qu'avec c = 1, cette équation

va diverger. Donc le nombre 1 ne fait

pas partie de l'ensemble de Mandelbrot.

Et si on essaye c = -1, et bien on a 0²

- 1 = -1 - 1² - 1 = 0. Et donc on

revient à 0² - 1 = -1. On voit donc que

cette fonction va continuer à osciller

entre -1 et 0. Donc elle restera finie.

Et donc c = -1 fait partie de l'ensemble

de mandel brot. Normalement, quand on

voit des images de l'ensemble de

Mandelbrot, elle montre juste la

frontière entre les nombres qui font que

cette équation itérée reste finie et

ceux qui la font divergé, mais elle ne

montre pas vraiment comment ces nombres

restent finis. Ce qu'on a fait ici,

c'est queon a réellement itéré cette

équation des milliers de fois puis on a

tracé sur l'axe Z la valeur que prend

effectivement l'itération. Donc si on

regarde de côté, ce que vous verrez en

fait, c'est le diagramme de bifurcation

qui fait partie de cet ensemble de

Mandelbrot. Alors, que se passe-t-il

vraiment ici ? Bien ce que cela nous

montre, c'est que tous les nombres dans

la cardioïde principale finissent par se

stabiliser sur une seule valeur

constante. Mais les nombres dans cette

bulbe principale, eux finissent bon par

osiller entre deux valeurs. Et dans

cette bulbe, ils ossillent entre quatre

valeurs. Ils ont une période de 4 puis 8

puis 16 32 et ainsi de suite. Puis on

atteint la partie chaotique. La partie

chaotique du diagramme de bifurcation se

trouve ici sur ce qu'on appelle

l'aiguille de l'ensemble de Mandelbro,

là où l'ensemble de Mandelbrot devient

très fin. Et vous pouvez voir cette

médaille ici qui ressemble à une version

plus petite de l'ensemble de Mandelbro

entier. Et bien ce que cela nous montre

c'est que tous les nombres dans la

cardioïde principale finissent par se

stabiliser sur une seule valeur

constante. Mais les nombres dans cette

bulbe principale eux finissent par

osiller entre deux valeurs et dans cette

bulbe oscillent entre quatre valeurs.

Ils ont une période de 4 puis 8 puis 16

32 et un ainsi de suite. Puis on atteint

la partie chaotique. La partie chaotique

du diagramme de bifurcation se trouve

ici sur ce qu'on appelle l'aiguille de

l'ensemble de Mandelbrot. là où

l'ensemble de Mandelbrot devient très

fin et vous pouvez voir cette médaille

ici qui ressemble à une version plus

petite de l'ensemble de Mandelbrot

entiers. Et bien cela correspond à la

fenêtre de stabilité dans le diagramme

de bifurcation avec une période de 3.

Maintenant le diagramme de bifurcation

n'existe que sur la droite réelle parce

que on a mis que des nombres réels dans

notre équation. Mais toutes ces bulbes

en dehors de la cardioïde principale et

bien elles ont aussi des cycles

périodiques de par exemple 3 4 ou 5. Et

donc on voit ces images fantomatiques

répétées si on regarde sur l'axe Z. En

fait, elles oscillent aussi entre ces

valeurs.

Personnellement, je trouve cela

extraordinairement beau, mais si vous

êtes plus pragmatique, vous vous

demandez peut-être est-ce que cette

équation modélise réellement des

populations d'animaux ? Et la réponse

est oui. En particulier dans les

environnements contrôlés que les

scientifiques ont mis en place dans les

laboratoires. Ce que je trouve encore

plus incroyable, c'est la façon dont

cette simple équation s'applique à un

vaste éventail de domaines scientifiques

totalement indépendants les uns des

autres.

[Musique]

La première grande confirmation

expérimentale est dévenue d'un

spécialiste de la dynamique des fluides

nommé Lipcha. Il a fabriqué une boîte

rectangulaire contenant du mercure et

utilisait un faible gradient de

température pour provoquer la

convection. Juste de cylindres de fluide

tournant en sens inverse à l'intérieur

de sa boîte. C'est tout ce que la boîte

pouvait contenir et bien sûr il ne

pouvait pas regarder à l'intérieur pour

voir ce que faisait le fluide. Alors, il

mesurait la température à l'aide d'une

sonde placée en haut. Il a observé un

pic régulier et périodique de

température. C'est comme lorsque

l'équation logistique converge vers une

seule valeur.

Mais en augmentant le gradient de

température, une oscillation à la moitié

de la fréquence initiale est apparue sur

ces cylindres roulants. Les pics de

température étaient moins élevés.

Ils alternaient entre deux hauteurs

différentes.

Il avait atteint la période 2 et en

continuant d'augmenter la température,

il a observé un doublement de période à

nouveau. Maintenant, il avait quatre

températures différentes avant que le

cycle ne se répète. Puis 8. C'était une

confirmation assez spectaculaire de la

théorie dans une expérience

magnifiquement conçue.

Mais ce n'était que le début.

Les scientifiques ont étudié la réaction

de nos yeux et des yeux de la salamandre

à des lumières clignotantes et ils ont

découvert un phénomène de doublement de

période. Une fois que la lumière atteint

un certain rythme de clignotement, nos

yeux ne réagissent plus agissent plus

qu'à un clignotement sur deux. C'est

incroyable dans ces articles de voir

apparaître le diagramme de bifurcation,

même s'il est un peu flou car il

provient de données du monde réel.

Des scientifiques ont donné un

médicament à des lapins provoquant une

fibrillation cardiaque. J'imagine qu'il

pensait en qu'il y avait trop de lapin

dehors. Enfin, si tu ne sais pas ce

qu'est la fibrillation, c'est quand ton

cœur bat de façon extrêmement

irrégulière et ne pompe quasiment plus

de sang. Et si tu n'interviens pas, tu

meurs. Ils ont découvert qu'en allant

vers la fibrillation, ils ont trouvé la

route du doublement de période menant au

chaos.

Le lapin a d'abord eu un battement

périodique puis un cycle de deux

battements rapprochés. Ensuite un cycle

de quatre battement différent avant de

recommencer et enfin un comportement

apériodique.

L'aspect remarquable de cette étude est

la surveillance en temps réel du cœur et

l'utilisation de la théorie du chaos

pour déterminer quand administrer des

chocs électriques afin de rétablir la

périodicité ce qu'ils ont réussi. Donc,

ils ont utilisé le chaos pour contrôler

un cœur et trouver une manière plus

intelligente d'administrer des chocs

électriques afin de le faire battre

normalement à nouveau. C'est vraiment

incroyable. Et puis il y a la question

du robinet qui goûte. La plupart d'entre

nous considèrent bien sûr les robinets

qui goûtent comme des objets très

réguliers et périodiques. Mais beaucoup

de recherches ont montré qu'une fois que

le débit augmente un peu, on obtient un

doublement de période. Donc maintenant,

les gouttes tombent deux par deux.

D'un simple robinet qui goûte, on peut

générer un comportement chaotique en

modifiant le débit, ce qui amène à se

demander ce qu'est vraiment un robinet.

Et bien, il y a de l'eau sous pression

constante et une ouverture de taille

constante. Et pourtant, ce que vous

obtenez, c'est un goutte à goutte

chaotique.

Donc c'est un système chaotique vraiment

simple. Vous pouvez expérimenter cela

chez vous. Allez ouvrir un robinet juste

un petit peu et voyez si vous pouvez

obtenir un goutte à goutte périodique

chez vous.

Le diagramme de bifurcation apparaît à

tellement d'endroits différents que cela

commence à sembler étrange.

Maintenant, je veux vous dire quelque

chose qui va rendre ça encore plus

étrange. Il y avait ce physicien

Mitchell Figenbum qui étudiait le moment

où les bifurcations se produisent. Il a

divisé la largeur de chaque section de

bifurcation par la suivante et il a

découvert que ce rapport converge vers

ce nombre 4,669.

ce qu'on appelle maintenant la constante

de Feigenb.

Les bifurcations surviennent de plus en

plus rapidement mais dans un rapport qui

tend vers cette valeur fixe et personne

ne sait vraiment d'où provient cette

constante. Elle ne semble se rattacher à

aucune autre constante physique connue,

si bien qu'elle constitue en elle-même

une constante fondamentale de la nature.

Ce qui est encore plus fou, c'est que il

n'est même pas nécessaire que l'équation

prenne la forme particulière que je vous

ai montré plus tôt. toute équation qui

présente une seule bosse. Si vous

l'itérez de la même manière que nous

l'avons fait, donc vous pourriez

utiliser xn + un égal sinus de x par

exemple. Si vous l'itérez encore, encore

et encore, vous verrez aussi des

bifurcations. Non seulement cela, mais

le rapport du moment où ces bifurcations

se produisent aura le même facteur

d'échelle. 4,669.

Toute fonction à une seule bosse itérée

vous donnera cette constante

fondamentale. Alors pourquoi ? Et bien

on parle d'universalité parce qu'il

semble y avoir quelque chose de

fondamental et de très universel dans ce

processus, dans ce type d'équation et

dans cette valeur constante. En 1976,

le biologiste Robertm a publié un

article dans nature à propos de cette

équation précisément.

Cela a provoqué une révolution parmi

ceux qui ont étudié ce sujet. Cet

article a d'ailleurs été cité des

milliers de fois et dans cet article, il

lance un appel pour que l'on enseigne

cette équation simple aux étudiants car

elle offre une nouvelle intuition sur la

façon dont des choses simples, des

équations simples peuvent engendrer des

comportements très complexes.

Et je pense toujours qu'aujourd'hui on

n'enseigne pas vraiment de cette façon.

Je veux dire, on enseigne des équations

simples et des résultats simples parce

que ce sont les choses faciles à faire

et ce sont celles qui semblent logiques.

On ne va pas semer le chaos chez les

étudiants, mais peut-être queon devrait

peut-être qu'on devrait en semer au

moins un peu. Et c'est pour ça que je

suis tellement enthousiaste à propos du

chaos et de cette équation parce que

franchement, comment ai-je pu atteindre

37 ans sans avoir jamais entendu parler

de la constante de Fagenbom ?

Depuis que j'ai lu le livre de James

Gleek, Koo, j'ai voulu faire des vidéos

sur ce sujet et maintenant je m'y mets

enfin et j'espère rendre justice à ce

sujet parce que je le trouve

incroyablement fascinant et j'espère que

vous aussi.

Key Vocabulary

Vocabulary	Meanings
simple /ˈsɪmpl/ A2	adjective - easy to understand or do; not complicated
année /ane/ A2	noun - year
population /ˌpɒpjʊˈleɪʃən/ B1	noun - the number of people living in a particular area
nombre /nɔ̃br/ B1	noun - number
fois /fwa/ B1	noun - times
équation /ekwaˈsjɔ̃/ B1	noun - equation
croissance /kʁwasɑ̃s/ B1	noun - growth
maximum /makˈsimɔm/ B2	noun - the greatest possible amount or degree
terme /tɛʁm/ B2	noun - term
fonction /fɔ̃ksjɔ̃/ B2	noun - function
valeur /valœʁ/ B2	noun - value
cycle /ˈsaɪkl/ B2	noun - a series of events that are regularly repeated in the same order
équilibre /ekilibʁ/ C1	noun - balance
chaos /ˈkeɪɒs/ C1	noun - complete disorder and confusion
bifurcation /bɪfəːˈkeɪʃən/ C1	noun - the division of something into two branches or parts
fractal /ˈfræktəl/ C1	noun - a geometric shape that can be split into parts, each of which is a reduced-size copy of the whole
diagramme /djagʁam/ C1	noun - diagram
constante /kɔ̃.stɑ̃t/ C2	noun - constant