Quel est le lien entre un robinet qui
00:02
goûte l'ensemble de mandelbrotte, une
00:03
population de lapin, la convection
00:06
thermique dans un fluide et l'activation
00:08
des neurones dans votre cerveau ? C'est
00:10
cette simple équation.
00:13
Disons que vous voulez modéliser une
00:20
population de lapin avec X lapin cette
00:21
année, combien en aurez-vous l'an
00:25
prochain ? Et bien le modèle le plus
00:26
simple que je puisse imaginer consiste
00:29
simplement à multiplier par un certain
00:31
nombre le taux de croissance R qui
00:33
pourrait être disons 2 et cela
00:35
signifierait que la population
00:37
doublerait chaque année. Le problème
00:38
c'est que le nombre de lapins
00:40
augmenterait sans cesse de façon
00:41
exponentielle.
00:43
Donc je peux ajouter le terme 1 - x pour
00:45
représenter les contraintes de
00:48
l'environnement. Et ici, j'imagine que
00:49
la population X est un pourcentage du
00:52
maximum théorique. Donc elle va de 0 à
00:55
1. Et à mesure qu'elle s'approche de ce
00:57
maximum, ce terme tend vers zéro et cela
01:00
limite la population.
01:03
Donc voici la méthode logistique.
01:05
Xn + 1 est la population de l'année
01:08
prochaine et Xnulation de cette année.
01:11
Et si vous tracez la population de
01:14
l'année prochaine en fonction de celle
01:15
de cette année, vous voyez que c'est
01:17
juste une parabole inversée. C'est
01:18
l'équation la plus simple que vous
01:20
puissiez faire qui a une boucle de
01:22
rétroaction négative. Plus la population
01:23
devient grande ici, plus elle sera
01:26
petite l'année suivante. Alors, essayons
01:28
un exemple.
01:30
Disons que nous avons affaire à un
01:33
groupe de lapins particulièrement
01:35
tactif. Donc R est ég à 2,6.
01:36
Choisissons une population initiale à 40
01:41
% du maximum, soit 0,4
01:43
multipli par 1 - 0,4 on obtient 0,624.
01:47
Donc la population augmenté la première.
01:52
>> Mais ce qui nous intéresse vraiment,
01:57
c'est le comportement à long terme de
01:59
cette population. Donc on peut remettre
02:01
cette population dans l'équation. Et
02:03
pour aller plus vite, on peut en fait
02:05
taper 2,6 fois réponse x 1 mo réponse.
02:07
On obtient 0,61. Donc la population a un
02:12
peu diminué. Appuyez encore une fois
02:14
0,619 0,613
02:16
0,617
02:19
0,615
02:21
0,616
02:23
0,615.
02:24
En continuant d'appuyer sur entrée, la
02:26
population ne change presque pas. Elle
02:28
s'est stabilisée comme dans la nature où
02:30
les populations restent constantes qu'en
02:32
essence et décès s'équilibre.
02:35
Je veux maintenant faire un graphique de
02:38
cette itération. Vous voyez ici qu'elle
02:39
atteint une valeur d'équilibre de 0,615.
02:41
Que se passerait-il si je changeais la
02:46
population initiale ? Je vais simplement
02:48
déplacer ce curseur ici. Et ce que vous
02:50
voyez c'est que les premières années
02:52
changent
02:54
mais la population d'équilibre reste la
02:56
même.
02:58
Donc on peut essentiellement ignorer la
03:00
population initiale.
03:02
Donc ce qui m'intéresse vraiment c'est
03:04
comment cette population d'équilibre
03:06
varie en fonction de R le taux de
03:08
croissance.
03:10
Et bien comme vous pouvez le voir, si je
03:12
diminue le taux de croissance, la
03:14
population d'équilibre diminue. Ça a du
03:16
sens. Et en fait si R descend en dessous
03:19
de 1, et bien alors la population chute
03:22
et finit par disparaître.
03:24
Donc ce que je veux faire, c'est tracer
03:27
un autre graphique où sur l'axe des
03:29
abscisses, j'ai R, le taux de
03:31
croissance. Sur l'axe désordonné, je
03:33
trace la population d'équilibre, celle
03:36
obtenue après de très nombreuses
03:38
générations.
03:40
Pour de faible air, les populations
03:42
s'éteignent toujours. L'équilibre est
03:44
donc zéro.
03:46
Lorsque R atteint 1, la population se
03:48
stabilise et plus R est élevé, plus la
03:51
population d'équilibre est élevée.
03:53
Jusqu'ici, tout va bien. Mais
03:57
maintenant, voici la partie étrange.
04:00
Une fois que R dépasse 3, le graphique
04:02
se divise en 2.
04:05
Pourquoi ?
04:07
>> Que se passe-t-il ? Et bien peu importe
04:08
combien de fois vous itérez l'équation,
04:11
elle ne se stabilise jamais sur une
04:13
seule valeur constante. Au lieu de cela,
04:14
elle oscile d'avant en arrière entre
04:17
deux valeurs.
04:19
>> Une année, la population était plus
04:20
élevée, l'année suivante, elle est plus
04:22
basse puis le cycle se répète.
04:23
La nature cyclique des populations est
04:25
également observée dans la nature. Le
04:27
nombre de lapins varie d'une année à
04:29
l'autre, parfois plus, parfois moins. À
04:31
mesure que R continue d'augmenter, la
04:34
fourchette s'écarte puis chacune se
04:36
divise à nouveau.
04:38
Maintenant, au lieu d'osciller entre
04:41
deux valeurs, les populations traversent
04:42
un cycle de 4 ans avant de se répéter.
04:45
Puisque la durée du cycle ou période a
04:48
doublé, on appelle cela des bifurcations
04:50
par doublement de période. En augmentant
04:52
R, on observe plus de bifurcation par
04:55
doublement de période. Elles arrivent de
04:57
plus en plus rapidement menant à des
04:59
cycles de 8 16 32 64. Puis tel que
05:01
lorsque R atteint 3,57 au chaos. La
05:05
population ne se stabilise jamais. Elle
05:09
fluctue comme si c'était au hasard.
05:11
Cette équation a été l'une des premières
05:14
de méthodes pour générer des nombres
05:15
aléatoires sur ordinateur. Cela
05:17
permettait d'obtenir de l'imprévisible
05:19
d'une machine déterministe.
05:21
Aucun motif ni répétition ici. Si vous
05:24
connaissiez les conditions initiales
05:27
exactes, vous pourriez calculer
05:29
précisément les valeurs. Donc on les
05:30
traite comme des nombres pseudo
05:32
aléatoires. On pourrait croire
05:33
l'équation restera chaotique, mais
05:36
l'ordre revient avec l'augmentation de
05:38
R.
05:40
Il y a ces fenêtres de comportement
05:41
périodique stable au milieu du chaos.
05:43
Par exemple, si R vaut 3,423, on observe
05:46
un cycle stable de 3 ans et à mesure que
05:49
R continue d'augmenter, il se divise en
05:52
6 12 24 et ainsi de suite avant de
05:55
revenir au chaos. En fait, cette
05:58
équation comporte des périodes de toute
06:00
longueur 37, 51, 1052, tout ce que vous
06:02
voulez si vous avez simplement la bonne
06:07
valeur de R.
06:09
Ce diagramme de bifurcation ressemble à
06:13
un fractal.
06:16
Les caractéristiques et la grande
06:18
échelle se répètent à des échelles plus
06:19
petites.
06:21
Et en effet, si vous zoomez, vous voyez
06:23
qu'il s'agit en fait d'un fractal.
06:25
Le fractal le plus connu est l'ensemble
06:28
de Mandelbrot.
06:30
Le rebondisement, c'est que le diagramme
06:32
de bifurcation fait partie de l'ensemble
06:34
de Mandelbrot.
06:36
Est-ce que ça fonctionne bien ? Petit
06:39
rappel sur l'ensemble de Mandelbrot, il
06:41
est basé sur cette équation itérée. Donc
06:44
la façon dont cela fonctionne, c'est que
06:47
vous choisissez un nombre C, n'importe
06:48
quel nombre dans le plan complexe, puis
06:50
vous commencez avec Z = 0 et ensuite
06:52
vous itérez cette équation encore et
06:55
encore. Si ça diverge vers l'infini,
06:56
alors le nombre C ne fait pas partie de
06:59
l'ensemble mais si ce nombre reste fini
07:00
après un nombre illimité d'itération,
07:03
alors il fait partie de l'ensemble de
07:06
Mandelbro.
07:08
Essayons par exemple C = 1. Donc on a 0
07:10
au carré + 1 ce qui donne 1. Ensuite 1
07:13
au carré + 1 = 2 au carré + 1 = 5 au
07:16
carré + 1 = 26. Donc on voit assez
07:21
rapidement qu'avec c = 1, cette équation
07:25
va diverger. Donc le nombre 1 ne fait
07:28
pas partie de l'ensemble de Mandelbrot.
07:30
Et si on essaye c = -1, et bien on a 0²
07:33
- 1 = -1 - 1² - 1 = 0. Et donc on
07:38
revient à 0² - 1 = -1. On voit donc que
07:45
cette fonction va continuer à osciller
07:50
entre -1 et 0. Donc elle restera finie.
07:53
Et donc c = -1 fait partie de l'ensemble
07:56
de mandel brot. Normalement, quand on
08:00
voit des images de l'ensemble de
08:01
Mandelbrot, elle montre juste la
08:03
frontière entre les nombres qui font que
08:05
cette équation itérée reste finie et
08:07
ceux qui la font divergé, mais elle ne
08:09
montre pas vraiment comment ces nombres
08:11
restent finis. Ce qu'on a fait ici,
08:12
c'est queon a réellement itéré cette
08:15
équation des milliers de fois puis on a
08:16
tracé sur l'axe Z la valeur que prend
08:19
effectivement l'itération. Donc si on
08:21
regarde de côté, ce que vous verrez en
08:23
fait, c'est le diagramme de bifurcation
08:25
qui fait partie de cet ensemble de
08:26
Mandelbrot. Alors, que se passe-t-il
08:28
vraiment ici ? Bien ce que cela nous
08:29
montre, c'est que tous les nombres dans
08:31
la cardioïde principale finissent par se
08:33
stabiliser sur une seule valeur
08:34
constante. Mais les nombres dans cette
08:36
bulbe principale, eux finissent bon par
08:37
osiller entre deux valeurs. Et dans
08:40
cette bulbe, ils ossillent entre quatre
08:41
valeurs. Ils ont une période de 4 puis 8
08:43
puis 16 32 et ainsi de suite. Puis on
08:46
atteint la partie chaotique. La partie
08:49
chaotique du diagramme de bifurcation se
08:51
trouve ici sur ce qu'on appelle
08:52
l'aiguille de l'ensemble de Mandelbro,
08:54
là où l'ensemble de Mandelbrot devient
08:56
très fin. Et vous pouvez voir cette
08:58
médaille ici qui ressemble à une version
08:59
plus petite de l'ensemble de Mandelbro
09:01
entier. Et bien ce que cela nous montre
09:03
c'est que tous les nombres dans la
09:05
cardioïde principale finissent par se
09:06
stabiliser sur une seule valeur
09:08
constante. Mais les nombres dans cette
09:09
bulbe principale eux finissent par
09:11
osiller entre deux valeurs et dans cette
09:13
bulbe oscillent entre quatre valeurs.
09:15
Ils ont une période de 4 puis 8 puis 16
09:17
32 et un ainsi de suite. Puis on atteint
09:21
la partie chaotique. La partie chaotique
09:23
du diagramme de bifurcation se trouve
09:25
ici sur ce qu'on appelle l'aiguille de
09:27
l'ensemble de Mandelbrot. là où
09:29
l'ensemble de Mandelbrot devient très
09:31
fin et vous pouvez voir cette médaille
09:32
ici qui ressemble à une version plus
09:34
petite de l'ensemble de Mandelbrot
09:36
entiers. Et bien cela correspond à la
09:37
fenêtre de stabilité dans le diagramme
09:39
de bifurcation avec une période de 3.
09:41
Maintenant le diagramme de bifurcation
09:44
n'existe que sur la droite réelle parce
09:45
que on a mis que des nombres réels dans
09:48
notre équation. Mais toutes ces bulbes
09:50
en dehors de la cardioïde principale et
09:52
bien elles ont aussi des cycles
09:55
périodiques de par exemple 3 4 ou 5. Et
09:57
donc on voit ces images fantomatiques
10:01
répétées si on regarde sur l'axe Z. En
10:04
fait, elles oscillent aussi entre ces
10:07
valeurs.
10:09
Personnellement, je trouve cela
10:15
extraordinairement beau, mais si vous
10:17
êtes plus pragmatique, vous vous
10:19
demandez peut-être est-ce que cette
10:20
équation modélise réellement des
10:23
populations d'animaux ? Et la réponse
10:24
est oui. En particulier dans les
10:26
environnements contrôlés que les
10:28
scientifiques ont mis en place dans les
10:30
laboratoires. Ce que je trouve encore
10:31
plus incroyable, c'est la façon dont
10:33
cette simple équation s'applique à un
10:35
vaste éventail de domaines scientifiques
10:37
totalement indépendants les uns des
10:39
autres.
10:41
[Musique]
10:42
La première grande confirmation
10:44
expérimentale est dévenue d'un
10:46
spécialiste de la dynamique des fluides
10:47
nommé Lipcha. Il a fabriqué une boîte
10:49
rectangulaire contenant du mercure et
10:52
utilisait un faible gradient de
10:54
température pour provoquer la
10:56
convection. Juste de cylindres de fluide
10:58
tournant en sens inverse à l'intérieur
11:01
de sa boîte. C'est tout ce que la boîte
11:03
pouvait contenir et bien sûr il ne
11:05
pouvait pas regarder à l'intérieur pour
11:07
voir ce que faisait le fluide. Alors, il
11:08
mesurait la température à l'aide d'une
11:10
sonde placée en haut. Il a observé un
11:12
pic régulier et périodique de
11:14
température. C'est comme lorsque
11:16
l'équation logistique converge vers une
11:18
seule valeur.
11:20
Mais en augmentant le gradient de
11:22
température, une oscillation à la moitié
11:23
de la fréquence initiale est apparue sur
11:25
ces cylindres roulants. Les pics de
11:28
température étaient moins élevés.
11:30
Ils alternaient entre deux hauteurs
11:33
différentes.
11:35
Il avait atteint la période 2 et en
11:36
continuant d'augmenter la température,
11:38
il a observé un doublement de période à
11:41
nouveau. Maintenant, il avait quatre
11:44
températures différentes avant que le
11:46
cycle ne se répète. Puis 8. C'était une
11:48
confirmation assez spectaculaire de la
11:51
théorie dans une expérience
11:53
magnifiquement conçue.
11:55
Mais ce n'était que le début.
11:57
Les scientifiques ont étudié la réaction
12:00
de nos yeux et des yeux de la salamandre
12:01
à des lumières clignotantes et ils ont
12:04
découvert un phénomène de doublement de
12:06
période. Une fois que la lumière atteint
12:07
un certain rythme de clignotement, nos
12:10
yeux ne réagissent plus agissent plus
12:11
qu'à un clignotement sur deux. C'est
12:14
incroyable dans ces articles de voir
12:16
apparaître le diagramme de bifurcation,
12:18
même s'il est un peu flou car il
12:20
provient de données du monde réel.
12:22
Des scientifiques ont donné un
12:25
médicament à des lapins provoquant une
12:27
fibrillation cardiaque. J'imagine qu'il
12:29
pensait en qu'il y avait trop de lapin
12:31
dehors. Enfin, si tu ne sais pas ce
12:32
qu'est la fibrillation, c'est quand ton
12:35
cœur bat de façon extrêmement
12:37
irrégulière et ne pompe quasiment plus
12:38
de sang. Et si tu n'interviens pas, tu
12:40
meurs. Ils ont découvert qu'en allant
12:42
vers la fibrillation, ils ont trouvé la
12:45
route du doublement de période menant au
12:47
chaos.
12:49
Le lapin a d'abord eu un battement
12:50
périodique puis un cycle de deux
12:52
battements rapprochés. Ensuite un cycle
12:54
de quatre battement différent avant de
12:57
recommencer et enfin un comportement
12:59
apériodique.
13:02
L'aspect remarquable de cette étude est
13:04
la surveillance en temps réel du cœur et
13:06
l'utilisation de la théorie du chaos
13:09
pour déterminer quand administrer des
13:11
chocs électriques afin de rétablir la
13:13
périodicité ce qu'ils ont réussi. Donc,
13:15
ils ont utilisé le chaos pour contrôler
13:19
un cœur et trouver une manière plus
13:21
intelligente d'administrer des chocs
13:23
électriques afin de le faire battre
13:24
normalement à nouveau. C'est vraiment
13:26
incroyable. Et puis il y a la question
13:28
du robinet qui goûte. La plupart d'entre
13:30
nous considèrent bien sûr les robinets
13:32
qui goûtent comme des objets très
13:34
réguliers et périodiques. Mais beaucoup
13:36
de recherches ont montré qu'une fois que
13:39
le débit augmente un peu, on obtient un
13:41
doublement de période. Donc maintenant,
13:43
les gouttes tombent deux par deux.
13:45
D'un simple robinet qui goûte, on peut
13:49
générer un comportement chaotique en
13:51
modifiant le débit, ce qui amène à se
13:53
demander ce qu'est vraiment un robinet.
13:55
Et bien, il y a de l'eau sous pression
13:58
constante et une ouverture de taille
13:59
constante. Et pourtant, ce que vous
14:01
obtenez, c'est un goutte à goutte
14:03
chaotique.
14:05
Donc c'est un système chaotique vraiment
14:06
simple. Vous pouvez expérimenter cela
14:08
chez vous. Allez ouvrir un robinet juste
14:10
un petit peu et voyez si vous pouvez
14:12
obtenir un goutte à goutte périodique
14:14
chez vous.
14:16
Le diagramme de bifurcation apparaît à
14:18
tellement d'endroits différents que cela
14:20
commence à sembler étrange.
14:22
Maintenant, je veux vous dire quelque
14:24
chose qui va rendre ça encore plus
14:25
étrange. Il y avait ce physicien
14:27
Mitchell Figenbum qui étudiait le moment
14:30
où les bifurcations se produisent. Il a
14:32
divisé la largeur de chaque section de
14:35
bifurcation par la suivante et il a
14:37
découvert que ce rapport converge vers
14:39
ce nombre 4,669.
14:42
ce qu'on appelle maintenant la constante
14:45
de Feigenb.
14:47
Les bifurcations surviennent de plus en
14:49
plus rapidement mais dans un rapport qui
14:51
tend vers cette valeur fixe et personne
14:53
ne sait vraiment d'où provient cette
14:56
constante. Elle ne semble se rattacher à
14:58
aucune autre constante physique connue,
15:00
si bien qu'elle constitue en elle-même
15:03
une constante fondamentale de la nature.
15:05
Ce qui est encore plus fou, c'est que il
15:08
n'est même pas nécessaire que l'équation
15:10
prenne la forme particulière que je vous
15:12
ai montré plus tôt. toute équation qui
15:13
présente une seule bosse. Si vous
15:16
l'itérez de la même manière que nous
15:19
l'avons fait, donc vous pourriez
15:20
utiliser xn + un égal sinus de x par
15:22
exemple. Si vous l'itérez encore, encore
15:25
et encore, vous verrez aussi des
15:27
bifurcations. Non seulement cela, mais
15:29
le rapport du moment où ces bifurcations
15:32
se produisent aura le même facteur
15:34
d'échelle. 4,669.
15:36
Toute fonction à une seule bosse itérée
15:40
vous donnera cette constante
15:43
fondamentale. Alors pourquoi ? Et bien
15:45
on parle d'universalité parce qu'il
15:47
semble y avoir quelque chose de
15:49
fondamental et de très universel dans ce
15:51
processus, dans ce type d'équation et
15:53
dans cette valeur constante. En 1976,
15:56
le biologiste Robertm a publié un
16:01
article dans nature à propos de cette
16:03
équation précisément.
16:06
Cela a provoqué une révolution parmi
16:08
ceux qui ont étudié ce sujet. Cet
16:10
article a d'ailleurs été cité des
16:11
milliers de fois et dans cet article, il
16:13
lance un appel pour que l'on enseigne
16:16
cette équation simple aux étudiants car
16:18
elle offre une nouvelle intuition sur la
16:21
façon dont des choses simples, des
16:23
équations simples peuvent engendrer des
16:26
comportements très complexes.
16:28
Et je pense toujours qu'aujourd'hui on
16:32
n'enseigne pas vraiment de cette façon.
16:34
Je veux dire, on enseigne des équations
16:37
simples et des résultats simples parce
16:38
que ce sont les choses faciles à faire
16:40
et ce sont celles qui semblent logiques.
16:41
On ne va pas semer le chaos chez les
16:44
étudiants, mais peut-être queon devrait
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peut-être qu'on devrait en semer au
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moins un peu. Et c'est pour ça que je
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suis tellement enthousiaste à propos du
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chaos et de cette équation parce que
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franchement, comment ai-je pu atteindre
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37 ans sans avoir jamais entendu parler
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de la constante de Fagenbom ?
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Depuis que j'ai lu le livre de James
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Gleek, Koo, j'ai voulu faire des vidéos
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sur ce sujet et maintenant je m'y mets
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enfin et j'espère rendre justice à ce
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sujet parce que je le trouve
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incroyablement fascinant et j'espère que
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vous aussi.
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Letras e Tradução
[Português]
Qual é o link entre um toque que
tarefa O conjunto de Mandelbrotte, a
população de coelho, convecção
térmico em um fluido e ativação
neurônios em seu cérebro? Isso é
Esta equação simples.
digamos que você deseja modelar um
população de coelho com x coelho
ano, quanto você terá um ano
a seguir? Bem, mais
simples que eu posso imaginar consiste
simplesmente para se multiplicar por um certo
Número da taxa de crescimento r que
pode ser dizer 2 e que
significaria que a população
dobraria a cada ano. O problema
é esse o número de coelhos
aumentaria constantemente
exponencial.
para que eu possa adicionar o termo 1 - x para
representa as restrições de
o ambiente. E aqui eu imagino isso
população x é uma porcentagem de
teórico máximo. Então ela vai de 0 para
1. E quando se aproxima disso
máximo, este termo tende a zero e que
limita a população.
Então, aqui está o método de logística.
xn + 1 é a população do ano
a seguir e xnulação deste ano.
e se você desenhar a população de
no próximo ano de acordo com isso
este ano, você vê que é
apenas uma parábola invertida. Isso é
a equação mais simples que você
pode fazer que tem um loop de
feedback negativo. Mais a população
se torna ótimo aqui, mais será
pequeno no ano seguinte. Então, vamos tentar
Um exemplo.
digamos que estamos lidando com um
Grupo de coelhos particularmente
tato. Então R é Ég em 2.6.
Vamos escolher uma população inicial aos 40
% do máximo, ou 0.4
multiplicado por 1 - 0.4 Temos 0,624.
Então a população aumentou a primeira.
>> mas o que realmente nos interessa,
é o comportamento de longo prazo de
esta população. Para que possamos colocar de volta
Esta população na equação. E
para ir mais rápido, podemos realmente
Toque em 2,6 vezes uma resposta x 1 MB Resposta.
Obtemos 0,61. Então a população tem um
pouco reduzido. Pressione mais uma vez
0,619 0,613
0,617
0,615
0,616
0,615.
continuando a pressionar a entrada, o
A população dificilmente está mudando. Ela
estabilizado como na natureza onde
as populações permanecem constantes que em
A gasolina e a morte são equilibrados.
agora quero fazer um gráfico de
esta iteração. Você vê aqui que ela
atinge um valor de equilíbrio de 0,615.
o que aconteceria se eu mudasse o
população inicial? Eu só vou
Mova este cursor aqui. E o que você
Veja é que os primeiros anos
altere
Mas a população de equilíbrio continua sendo o
par.
para que possamos ignorar essencialmente o
população inicial.
então o que realmente me interessa é
Como essa população de equilíbrio
varia de acordo com r a taxa de
crescimento.
bem como você pode ver, se eu
diminui a taxa de crescimento, o
O equilíbrio da população diminui. Tem
Sense. E de fato se rs abaixo
de 1, e então a população cai
e eventualmente desaparece.
então o que eu quero fazer é rastrear
outro gráfico onde no eixo de
Abscissa, eu tenho, a taxa de
crescimento. No eixo desordenado, eu
traça a população de equilíbrio, que
obtido após muitos
gerações.
para o ar baixo, as populações
sempre saia. O equilíbrio é
então zero.
Quando chegar a 1, a população está
estabiliza e mais r é alto, mais o
A população de equilíbrio é alta.
até agora, está tudo bem. Mas
Agora, aqui está a parte estranha.
Quando r excede 3, o gráfico
é dividido em 2.
Por quê?
>> O que está acontecendo? E não importa o quê
quantas vezes você é a equação,
nunca se estabiliza em um
apenas valor constante. Em vez de,
é o que é para trás entre
dois valores.
>> Um ano, a população era mais
alta, no ano seguinte, é mais
baixo e o ciclo é repetido.
A natureza cíclica das populações é
também observado na natureza. O
O número de coelhos varia de um ano a
o outro, às vezes mais, às vezes menos. TEM
medir que R continua a aumentar, o
garfo desvia então cada
se divide novamente.
agora, em vez de oscilar entre
dois valores, as populações cruzam
Um ciclo de 4 anos antes de se repetir.
como a duração do ciclo ou período tem
dobrou, isso é chamado de bifurcações
dobrando o período. Aumentando
r, observamos mais bifurcação por
período duplamente. Eles vêm de
cada vez mais rapidamente, levando a
ciclos de 8 16 32 64. Então, de modo que
Quando r atinge 3,57 no caos. Lá
população nunca se estabiliza. Ela
flutua como se fosse aleatório.
Esta equação foi uma das primeiras
métodos para gerar números
aleatório no computador. Que
tornou possível alcançar o imprevisível
de uma máquina determinística.
Nenhum padrão ou repetição aqui. Se você
conhecer as condições iniciais
exato, você poderia calcular
precisamente os valores. Então nós
trata como pseudonúmeros
aleatório. Alguém poderia acreditar
a equação permanecerá caótica, mas
o pedido retorna com o aumento de
UMA.
Existem essas janelas de comportamento
periódico estável em meio ao caos.
Por exemplo, se R for 3,423, observamos
um ciclo estável de 3 anos e como
R continua a aumentar, ele se divide em
6 12 24 e assim por diante antes
retornar ao caos. Na verdade, isso
equação tem períodos de todos
comprimento 37, 51, 1052, o que você quiser
quero se você tiver o caminho certo
valor de R.
Este diagrama de bifurcação se parece com
um fractal.
As características e o excelente
escala se repete em escalas maiores
pequeno.
E, de fato, se você aumentar o zoom, verá
que é de fato um fractal.
O fractal mais conhecido é o conjunto
de Mandelbrot.
A diferença é que o diagrama
de bifurcação faz parte do conjunto
de Mandelbrot.
Funciona bem? Pequeno
lembre-se do set de Mandelbrot,
é baseado nesta equação iterada. ENTÃO
a maneira como funciona é que
você escolhe um número C, independentemente
qual número no plano complexo, então
você começa com Z = 0 e então
você repete esta equação repetidamente
novamente. Se divergir para o infinito,
então o número C não faz parte de
o todo, mas se esse número permanecer finito
após um número ilimitado de iterações,
então faz parte do conjunto de
Mandelbro.
Vamos tentar por exemplo C = 1. Então temos 0
ao quadrado + 1 que dá 1. Então 1
ao quadrado + 1 = 2 ao quadrado + 1 = 5
quadrado + 1 = 26. Então vemos o suficiente
rapidamente do que com c = 1, esta equação
irá divergir. Então o número 1 não
não faz parte do conjunto Mandelbrot.
E se tentarmos c = -1, bem, teremos 0²
- 1 = -1 - 1² - 1 = 0. E então nós
retorna para 0² - 1 = -1. Vemos, portanto, que
esta função continuará a oscilar
entre -1 e 0. Portanto, permanecerá finito.
E então c = -1 faz parte do conjunto
por Mandel Brot. Normalmente, quando nós
vê imagens de todo
Mandelbrot, isso apenas mostra o
limite entre os números que compõem
esta equação iterada permanece finita e
aqueles que fazem divergir, mas não
realmente não mostra como esses números
permanecem finitos. O que fizemos aqui,
é que realmente iteramos isso
equação milhares de vezes, então temos
plotou no eixo Z o valor que leva
efetivamente a iteração. Então se nós
olhe para o lado, o que você verá em
pronto, este é o diagrama de bifurcação
que faz parte deste conjunto de
Mandelbrot. Então o que está acontecendo
realmente aqui? Bem, o que isso nos dá?
mostra é que todos os números em
o cardióide principal termina
estabilizar em um único valor
constante. Mas os números neste
lâmpada principal, elas ficam boas
oscila entre dois valores. E em
esta lâmpada, eles oscilam entre quatro
valores. Eles têm um período de 4 e depois 8
depois 16 32 e assim por diante. Então nós
chega à parte caótica. A parte
caótico do diagrama de bifurcação
encontrado aqui no que chamamos
a agulha do conjunto Mandelbro,
onde o conjunto de Mandelbrot se torna
muito bem. E você pode ver isso
medalha aqui que parece uma versão
menor do conjunto Mandelbro
inteiro. Bem, o que isso nos mostra?
é que todos os números no
cardióide principal termina
estabilizar em um único valor
constante. Mas os números neste
lâmpada principal eles acabam
oscilar entre dois valores e neste
lâmpada oscila entre quatro valores.
Eles têm um período de 4, depois 8 e depois 16
32 e um assim por diante. Então chegamos
a parte caótica. A parte caótica
do diagrama de bifurcação é encontrado
aqui no que chamamos de agulha de
o conjunto Mandelbrot. onde
o conjunto de Mandelbrot torna-se muito
final e você pode ver esta medalha
aqui que parece mais
pequeno do conjunto Mandelbrot
números inteiros. Bem, isso corresponde ao
janela de estabilidade no diagrama
bifurcação com período 3.
Agora o diagrama de bifurcação
só existe na linha real porque
que apenas colocamos números reais em
Nossa equação. Mas todas essas lâmpadas
fora do cardióide principal e
Bem, eles também têm ciclos
periódico por exemplo 3 4 ou 5. E
Então vemos essas imagens fantasmagóricas
repetido se olharmos no eixo z.
feito, eles também oscilam entre estes
valores.
pessoalmente, eu acho
} extraordinariamente bonito, mas se você
são mais pragmáticos, você
pode perguntar isso
equação realmente modelos
populações de animais? E a resposta
é sim. Especialmente em
ambientes controlados que
cientistas criaram
laboratórios. O que eu ainda encontro
mais incrível, é assim que
Esta equação simples se aplica a um
ampla gama de campos científicos
totalmente independente
Outros.
[música]
a primeira grande confirmação
} experimental é concedido a um
Especialista em dinâmica de fluidos
nomeado Lipcha. Ele fez uma caixa
retangular contendo mercúrio e
usou um gradiente fraco de
temperatura para causar o
convecção. Apenas cilindro de fluido
girando na direção oposta dentro
de sua caixa. Isso é tudo o que a caixa
pode conter e, claro, não
não poderia procurar por dentro
Veja o que o fluido fez. Então ele
mediu a temperatura usando um
sonda colocada na parte superior. Ele observou um
pico regular e periódico de
temperatura. É como quando
A equação logística converge para um
Somente valor.
, mas aumentando o gradiente de
temperatura, uma oscilação ao meio
da frequência inicial apareceu em
esses cilindros rolantes. Os picos de
A temperatura foi menor.
eles alternaram entre duas alturas
diferente.
ele havia atingido o período 2 e em
continuando a aumentar a temperatura,
ele observou uma duplicação de um período em
Novo. Agora ele tinha quatro
temperaturas diferentes antes do
O ciclo não é repetido. Então 8. Foi um
confirmação razoavelmente espetacular do
teoria em uma experiência
lindamente projetado.
, mas foi apenas o começo.
cientistas estudaram a reação
de nossos olhos e olhos da salamandra
para as luzes piscando e elas têm
descobriu um fenômeno de dobrar
período. Quando a luz atingir
um certo ritmo de piscar, nosso
Os olhos não reagem mais não agem mais
do que um em dois flashes. Isso é
Incrível nesses artigos para ver
aparece o diagrama do garfo,
mesmo que esteja um pouco embaçado porque
vem de dados do mundo real.
cientistas deram um
remédio para coelhos causando um
fibrilação cardíaca. Eu imagino ele
pensou que havia muito coelho
fora. Finalmente, se você não sabe disso
que é fibrilação, é quando o seu
batidas de coração extremamente
irregular e dificilmente bombeia
sangue. E se você não intervir, você
meurs. Eles descobriram isso indo
em direção à fibrilação, eles encontraram o
rota do período duplo, levando a
caos.
O coelho primeiro teve uma batida
periódico e depois um ciclo de dois
fecha batidas. Então um ciclo
de quatro batidas diferentes antes
Comece novamente e finalmente um comportamento
Aperiodic.
O aspecto notável deste estudo é
vigilância em tempo real do coração e
O uso da teoria do caos
para determinar quando administrar
choques elétricos para restaurar o
periodicidade O que eles conseguiram. ENTÃO,
eles usaram o caos para controlar
um coração e encontre uma maneira mais
} inteligente para administrar choques
} elétrico para torná -lo batido
normalmente novamente. É realmente
incrível. E depois há a pergunta
da torneira que tem gosto. A maioria de
É claro que considere as torneiras
que têm gosto muito
regular e periódico. Mas muito
da pesquisa mostrou que uma vez
O fluxo aumenta um pouco, temos um
período duplamente. Então agora,
As gotas caem duas por duas.
de um toque simples que tem gosto, podemos
gerar comportamento caótico em
modificando o fluxo, o que leva a
Pergunte o que é realmente uma torneira.
Bem, há água sob pressão
constante e uma abertura de tamanho
constante. E ainda assim, o que você
Get, é uma gota
Chaótico.
, então é um sistema realmente caótico
simples. Você pode experimentar isso
em casa. Vá abrir uma torneira certa
um pouco e veja se você pode
Obtenha uma queda periódica
em casa.
O diagrama de bifurcação aparece em
tantos lugares diferentes além disso
está começando a parecer estranho.
Agora quero te contar uma coisa
algo que tornará ainda mais
estranho. Havia esse físico
Mitchell Figenbum que estudou o momento
onde ocorrem as bifurcações. Ele tem
dividiu a largura de cada seção de
bifurcação pelo próximo e ele
descobriu que esse relacionamento converge para
este número 4.669.
o que agora chamamos de constante
por Feigenb.
Bifurcações estão ocorrendo cada vez mais
mais rápido, mas em uma proporção que
tende para este valor fixo e ninguém
realmente não sabe de onde vem isso.
constante. Não parece estar ligado a
nenhuma outra constante física conhecida,
para que constitua em si
uma constante fundamental da natureza.
O que é ainda mais louco é que ele
nem é necessário para a equação
assume a forma específica que eu
mostrei anteriormente. qualquer equação que
tem uma única saliência. Se você
iterar da mesma maneira que nós
fez isso, então você poderia
use xn + um seno igual de x por
exemplo. Se você iterar novamente, novamente
e novamente, você também verá
bifurcações. Não só isso, mas
a proporção de quando essas bifurcações
ocorrer terá o mesmo fator
de escala. 4.669.
Qualquer função iterada de corcunda única
lhe dará esta constante
fundamental. Então por quê? Bem
falamos de universalidade porque
parece ser algo
fundamental e muito universal neste
processo, neste tipo de equação e
neste valor constante. Em 1976,
o biólogo Robertm publicou um
artigo na natureza sobre isso
equação com precisão.
Isso causou uma revolução entre
aqueles que estudaram este assunto. Esse
artigo também foi citado
milhares de vezes e neste artigo,
chamadas para ensino
esta equação simples para os alunos porque
oferece uma nova intuição sobre o
maneira como as coisas simples,
equações simples podem gerar
comportamentos muito complexos.
E ainda acho que hoje nós
realmente não ensina dessa maneira.
Quero dizer, ensinamos equações
resultados simples e simples porque
que essas são as coisas fáceis de fazer
e estes são os que parecem lógicos.
Não vamos semear o caos entre os
alunos, mas talvez devêssemos
talvez devêssemos semear alguns em
menos um pouco. E é por isso que eu
estou muito animado com o
caos e esta equação porque
francamente, como cheguei
37 anos sem nunca ter ouvido falar
da constante de Fagenbom?
Desde que li o livro de James
Gleek, Koo, eu queria fazer vídeos
sobre este assunto e agora estou começando
finalmente e espero fazer justiça a isso
tópico porque encontrei
incrivelmente fascinante e espero
você também.
[Francês]
Show
Vocabulário chave
Começar a praticar
| Vocabulário | Significados |
|---|---|
|
simple /ˈsɪmpl/ A2 |
|
|
année /ane/ A2 |
|
|
population /ˌpɒpjʊˈleɪʃən/ B1 |
|
|
nombre /nɔ̃br/ B1 |
|
|
fois /fwa/ B1 |
|
|
équation /ekwaˈsjɔ̃/ B1 |
|
|
croissance /kʁwasɑ̃s/ B1 |
|
|
maximum /makˈsimɔm/ B2 |
|
|
terme /tɛʁm/ B2 |
|
|
fonction /fɔ̃ksjɔ̃/ B2 |
|
|
valeur /valœʁ/ B2 |
|
|
cycle /ˈsaɪkl/ B2 |
|
|
équilibre /ekilibʁ/ C1 |
|
|
chaos /ˈkeɪɒs/ C1 |
|
|
bifurcation /bɪfəːˈkeɪʃən/ C1 |
|
|
fractal /ˈfræktəl/ C1 |
|
|
diagramme /djagʁam/ C1 |
|
|
constante /kɔ̃.stɑ̃t/ C2 |
|
Você lembra o que significa “simple” ou “année” em ""?
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Estruturas gramaticais chave
Em breve!
Estamos atualizando esta seção. Fique ligado!
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